一、引言
高考作为我国教育体系中的重要环节，对每个学生来说都是一次人生的重要考验。数学作为高考的必考科目之一，其难度和深度往往能够体现一个学生的逻辑思维能力和解题技巧。本文将深入解析2009年江苏数学高考真题的答案，帮助读者一窥高考数学的精髓。
二、试卷结构分析
2009年江苏数学高考试卷分为必考部分和选考部分。必考部分包括选择题、填空题和解答题，主要考察学生的基础知识和基本技能；选考部分则分为数学Ⅰ、数学Ⅱ和数学Ⅲ，考察学生的综合应用能力和创新思维。
三、真题解析与答案
3.1 选择题
选择题主要考察学生对基础知识的掌握程度，以下是一例：
题目：若函数\(f(x) = ax^2 + bx + c\)在\(x=1\)时取得极值，则\(\frac{b}{2a}\)的值为多少？
答案：-1
解析：由极值条件得\(f'(1) = 0\)，即\(2a + b = 0\)，从而得到\(\frac{b}{2a} = -1\)。
3.2 填空题
填空题主要考察学生的计算能力和推理能力，以下是一例：
题目：若\(\sin^2x + \cos^2x = 1\)，则\(\tan^2x + \cot^2x\)的值为多少？
答案：2
解析：由三角恒等变换知\(\tan^2x + \cot^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\sin^2x} = \frac{\sin^4x + \cos^4x}{\sin^2x\cos^2x}\)。由\(\sin^2x + \cos^2x = 1\)得\(\sin^2x\cos^2x = \frac{1}{4}\)，代入上式得\(\tan^2x + \cot^2x = 2\)。
3.3 解答题
解答题主要考察学生的综合应用能力和解题技巧，以下是一例：
题目：已知函数\(f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)\)，求证：当\(x > 0\)时，\(f(x) > 0\)。
答案：证明：
（1）求导：\(f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x^2}\)。
（2）分析单调性：当\(0 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\)单调递增。
（3）求极值：由（2）知，\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极小值，也是最小值，\(f(1) = 1 + 0 = 1 > 0\)。
（4）结论：当\(x > 0\)时，\(f(x) > 0\)。
四、总结
通过对2009年江苏数学高考真题的解析，我们可以看到高考数学试卷的难度和深度。要想在高考中取得好成绩，我们需要扎实的基础知识、良好的解题技巧和丰富的解题经验。希望本文能对广大考生有所帮助。