引言
2011年的考研数学题目对于众多考生来说既是一道挑战，也是一次检验。本文将深入解析2011年考研数学的难题，并提供相应的备考策略，帮助正在备考的学子们更好地应对类似的难题。
一、2011年考研数学难题解析
1. 高等数学
难题示例：
题目：设函数 ( f(x) = x^3 - 3x )，求 ( f(x) ) 在区间 ([-1, 2]) 上的最大值和最小值。
解析：
首先，我们需要求出 ( f(x) ) 的导数 ( f’(x) )。
[ f’(x) = 3x^2 - 3 ]
然后，令 ( f’(x) = 0 )，解得 ( x = \pm 1 )。
接下来，我们需要比较 ( x = -1, 1, 2 ) 以及区间端点 ( x = -1 ) 和 ( x = 2 ) 处的函数值。
[ f(-1) = -1, \quad f(1) = -2, \quad f(2) = 2 ]
因此，函数 ( f(x) ) 在区间 ([-1, 2]) 上的最大值为 ( 2 )，最小值为 ( -2 )。
2. 线性代数
难题示例：
题目：设 ( A ) 是 ( n \times n ) 的实对称矩阵，证明 ( A ) 可相似对角化。
解析：
由于 ( A ) 是实对称矩阵，根据谱定理，( A ) 可以相似对角化。具体证明如下：
设 ( \lambda ) 是 ( A ) 的一个非零特征值，( \alpha ) 是对应的特征向量。则 ( A\alpha = \lambda\alpha )。
由于 ( A ) 是对称的，我们有 ( \alpha^T A\alpha = \alpha^T \lambda\alpha = \lambda\alpha^T\alpha )。
因为 ( \alpha \neq 0 )，所以 ( \alpha^T\alpha > 0 )，从而 ( \lambda > 0 )。
由于 ( \lambda ) 是任意非零特征值，因此 ( A ) 的所有特征值都是正的。因此，( A ) 可相似对角化。
3. 概率论与数理统计
难题示例：
题目：设 ( X ) 和 ( Y ) 是相互独立的随机变量，且 ( X \sim N(0, 1) )，( Y \sim N(0, 1) )。求 ( Z = X + Y ) 的概率密度函数。
解析：
由于 ( X ) 和 ( Y ) 是相互独立的正态分布随机变量，它们的和 ( Z = X + Y ) 也将是一个正态分布的随机变量。
根据正态分布的性质，( Z ) 的均值 ( \mu_Z ) 和方差 ( \sigma_Z^2 ) 分别为：
[ \mu_Z = \mu_X + \mu_Y = 0 + 0 = 0 ] [ \sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 1 + 1 = 2 ]
因此，( Z ) 的概率密度函数为：
[ f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 2}} e^{-\frac{z^2}{2 \cdot 2}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-\frac{z^2}{4}} ]
二、备考策略
1. 理论知识扎实
备考数学，首先要保证基础知识扎实。通过课本、辅导书和历年真题，系统地复习高等数学、线性代数和概率论与数理统计的基础知识。
2. 注重解题技巧
除了理论知识，解题技巧同样重要。通过大量的练习，熟悉各种题型的解题方法和技巧，提高解题速度和准确性。
3. 定期模拟考试
模拟考试可以帮助考生熟悉考试环境，检验自己的复习效果。通过模拟考试，可以发现自己的薄弱环节，有针对性地进行复习。
4. 保持良好的心态
备考期间，保持良好的心态非常重要。合理安排学习时间，保证充足的休息，避免过度疲劳。
结语
通过以上分析，相信大家对2011年考研数学的难题有了更深入的了解。只要在备考过程中，注重基础知识、解题技巧和心态调整，相信大家都能在考研数学中取得优异的成绩。祝大家备考顺利，金榜题名！