引言

2011年高考数学全国卷1是众多考生心中的一道经典试卷，其中不乏一些颇具挑战性的难题。本文将带领大家回顾这些难题，并分析解题技巧，以期对即将面临高考的学生有所帮助。

一、试卷概述

2011年高考数学全国卷1共有25题，分为选择题、填空题和解答题三个部分。试卷内容涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等模块，整体难度适中，但部分题目具有一定的挑战性。

二、难题解析

难题一：函数问题

题目描述：已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)，求\(f(x)\)的值域。

解题思路：

  1. 将\(f(x)\)转化为分式形式，化简为\(f(x)=\frac{1}{x(x+1)}\)。
  2. 利用基本不等式，得到\(f(x)\geq\frac{1}{2\sqrt{x(x+1)}}\)。
  3. 当\(x=0\)或\(x=-1\)时，\(f(x)\)取得最小值\(\frac{1}{2}\)。
  4. 当\(x\rightarrow\infty\)或\(x\rightarrow-\infty\)时，\(f(x)\rightarrow 0\)。

答案：\(f(x)\)的值域为\([0,\frac{1}{2}]\)。

难题二：数列问题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{2^n}\)。

解题思路：

  1. 利用递推关系，得到\(a_n=2^n-1\)。
  2. 利用夹逼准则，得到\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}\)。

答案：\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}\)。

难题三：立体几何问题

题目描述：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，\(E\)为\(A_1B_1\)的中点，\(F\)为\(A_1D_1\)的中点，求\(\triangle AEF\)的面积。

解题思路：

  1. 利用向量法，得到\(\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\)，\(\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\)。
  2. 利用向量的数量积，得到\(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AA_1})\)。
  3. 利用正方体的性质，得到\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=AB\cdot AD\cdot\cos\angle BAD=\frac{1}{2}AB^2\)。
  4. 计算\(\triangle AEF\)的面积，得到\(S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AB^2\cdot\sin\angle BAD=\frac{1}{4}AB^2\)。

答案：\(\triangle AEF\)的面积为\(\frac{1}{4}AB^2\)。

三、解题技巧总结

  1. 熟练掌握基本公式和定理，如基本不等式、递推关系、向量法等。
  2. 善于运用数学思想，如夹逼准则、极限思想等。
  3. 注重解题步骤的严谨性，确保每一步都有充分的依据。
  4. 培养良好的解题习惯，如审题、画图、列式等。

结语

回顾2011年高考数学全国卷1的难题，我们不仅能够感受到数学的魅力，还能从中汲取解题技巧。希望本文对广大考生有所帮助，祝愿大家在未来的高考中取得优异成绩。