2011年辽宁预赛的数学难题一直备受关注，本文将深入解析这一难题，并探讨其背后的数学原理和解题策略。
一、题目回顾
2011年辽宁预赛数学试题中的一道题目如下：
已知数列\(\{a_n\}\)，其中\(a_1=1\)，且对于任意正整数\(n\)，都有\(a_{n+1} = a_n + \sqrt{a_n^2 + 2}\)。求证：对于任意正整数\(n\)，\(a_n\)都是正整数。
二、解题思路
这道题目属于数列和根式不等式问题，解题关键在于利用数学归纳法和根式不等式的性质。
1. 数学归纳法
首先，我们验证\(n=1\)时结论成立，即\(a_1=1\)是正整数。
假设对于某个正整数\(k\)，\(a_k\)是正整数，即\(a_k > 0\)。接下来，我们需要证明\(a_{k+1}\)也是正整数。
根据数列的定义，有\(a_{k+1} = a_k + \sqrt{a_k^2 + 2}\)。由于\(a_k > 0\)，那么\(a_k^2 > 0\)，进而\(a_k^2 + 2 > 2\)，因此\(\sqrt{a_k^2 + 2} > \sqrt{2}\)。又因为\(\sqrt{2} > 1\)，所以\(a_{k+1} = a_k + \sqrt{a_k^2 + 2} > a_k + 1 > 0\)。
由此，我们证明了如果\(a_k\)是正整数，那么\(a_{k+1}\)也是正整数。
2. 根式不等式性质
为了进一步证明数列\(\{a_n\}\)中的每一项都是正整数，我们需要利用根式不等式的性质。
首先，我们证明\(\sqrt{a_n^2 + 2} > a_n\)。由于\(a_n > 0\)，我们有\(a_n^2 > 0\)，进而\(a_n^2 + 2 > 2\)。因此，\(\sqrt{a_n^2 + 2} > \sqrt{2}\)。又因为\(\sqrt{2} > 1\)，所以\(\sqrt{a_n^2 + 2} > a_n\)。
接下来，我们证明\(\sqrt{a_n^2 + 2} < a_n + 1\)。由于\(a_n > 0\)，我们有\(a_n^2 + 2 < a_n^2 + 2a_n + 1\)。因此，\(\sqrt{a_n^2 + 2} < \sqrt{a_n^2 + 2a_n + 1}\)。又因为\(\sqrt{a_n^2 + 2a_n + 1} = a_n + 1\)，所以\(\sqrt{a_n^2 + 2} < a_n + 1\)。
综合上述两个不等式，我们得到\(a_n < \sqrt{a_n^2 + 2} < a_n + 1\)。由于\(a_n\)是正整数，那么\(\sqrt{a_n^2 + 2}\)也是正整数。因此，\(a_{k+1} = a_k + \sqrt{a_k^2 + 2}\)是正整数。
三、结论
通过数学归纳法和根式不等式性质，我们证明了对于任意正整数\(n\)，数列\(\{a_n\}\)中的每一项都是正整数。这道题目考察了数学归纳法、根式不等式等数学知识，具有一定的挑战性。