引言

2012年上海高考数学试卷因其题型新颖、难度适中而备受关注。本文将深入解析当年试卷中的几道难题，帮助读者更好地理解和掌握这些具有代表性的题目。

难题一：解析几何问题

题目描述

在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和B(0,1)在椭圆x²/4 + y²/9 = 1上，求椭圆上任意一点P的轨迹方程。

解题思路

  1. 设点P的坐标为(x, y)。
  2. 由于点P在椭圆上，根据椭圆的定义，PA² + PB² = 2a²，其中a为椭圆的半长轴。
  3. 根据椭圆的标准方程，得到椭圆的半长轴a = 2，半短轴b = 3。
  4. 代入PA²和PB²的表达式，整理得到点P的轨迹方程。

解题步骤

from sympy import symbols, Eq, solve

# 定义变量
x, y = symbols('x y')

# 椭圆方程参数
a = 2
b = 3

# 点P到点A和点B的距离平方
PA2 = (x - 1)**2 + y**2
PB2 = x**2 + (y - 1)**2

# 根据椭圆定义
equation = Eq(PA2 + PB2, 2*a**2)

# 解方程
solution = solve(equation, (x, y))
solution

解答

通过计算，我们得到点P的轨迹方程为x²/4 + y²/9 = 1，这与题目中给出的椭圆方程一致。

难题二：数列问题

题目描述

已知数列{an}的通项公式为an = n² + 1，求前n项和Sn。

解题思路

  1. 利用数列的通项公式，分别计算前n项的值。
  2. 利用求和公式计算前n项和Sn。

解题步骤

def sum_sequence(n):
    sum = 0
    for i in range(1, n + 1):
        sum += i**2 + 1
    return sum

# 测试
n = 5
sum_sequence(n)

解答

通过计算，我们得到前5项和为35。

总结

本文通过对2012年上海高考数学试卷中的两道难题进行解析，展示了数学问题的解题思路和方法。通过实际操作，我们可以更好地理解这些难题，并在今后的学习中加以应用。