引言

2012年四川高考数学试卷因其难度和深度而备受考生和家长关注。本文将深入解析2012年四川高考数学中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。

一、2012年四川高考数学试卷概述

2012年四川高考数学试卷分为文理科试卷，共有150分。试卷内容包括选择题、填空题和解答题。其中，解答题部分包括三角函数、解析几何、立体几何、数列、函数等知识点。

二、难题解析

1. 难题一：解析几何中的动点问题

题目

在平面直角坐标系中，点P（m，n）在抛物线y²=2px（p＞0）上，点Q在x轴上，且|PQ|=1。求直线PQ的方程。

解析

此题考察了抛物线的性质和动点问题的解决方法。解题步骤如下：

  1. 抛物线性质：利用抛物线定义，可得y²=2px。
  2. 动点坐标：点P在抛物线上，满足y²=2px。
  3. 距离关系：|PQ|=1，可得Q点坐标为（m±1，0）。
  4. 直线方程：根据两点式直线方程，可得直线PQ的方程为y=kx+b。
  5. 代入求解：将点P和Q的坐标代入直线方程，求解k和b。

代码示例（Python）

import sympy as sp

# 定义变量
x, y, p, m, n, k, b = sp.symbols('x y p m n k b')

# 抛物线方程
parabola_eq = sp.Eq(y**2, 2*p*x)

# 点P坐标
p_m = m
p_n = n

# 点Q坐标
q_x1 = m + 1
q_x2 = m - 1
q_y = 0

# 直线PQ方程
line_eq = sp.Eq(y - p_n, k*(x - p_m))

# 解方程组
solution = sp.solve([line_eq.subs(y, sp.solve(parabola_eq, y)[0]), parabola_eq], (k, b))

# 输出结果
solution

2. 难题二：立体几何中的空间向量问题

题目

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，F为DD1的中点，G为AC的中点。求异面直线AB1和DE所成角的余弦值。

解析

此题考察了空间向量知识和异面直线夹角公式的应用。解题步骤如下：

  1. 向量表示：根据向量的定义，表示出向量AB1、DE、AC和AE。
  2. 异面直线夹角公式：利用向量夹角公式求出异面直线AB1和DE的夹角。
  3. 化简求值：将向量代入公式，化简并求出余弦值。

代码示例（Python）

import sympy as sp

# 定义变量
x, y, z, a = sp.symbols('x y z a')

# 正方体边长
a_val = 1

# 向量表示
AB1 = sp.Matrix([a, 0, 0])
DE = sp.Matrix([0, a_val/2, a_val/2])
AC = sp.Matrix([a_val, 0, 0])
AE = sp.Matrix([a_val/2, a_val/2, 0])

# 向量夹角公式
cos_theta = sp.cos(sp.acos(sp.sqrt(sp.dot(AB1, DE)/sp.sqrt(sp.dot(AB1, AB1)*sp.dot(DE, DE)))))

# 输出结果
cos_theta

三、备考策略

  1. 夯实基础知识：针对2012年高考数学试卷，重点复习解析几何、立体几何、数列、函数等基础知识。
  2. 练习典型题目：针对历年的高考数学试卷，尤其是2012年四川高考数学试卷，进行有针对性的练习。
  3. 培养解题技巧：通过分析典型题目，总结解题方法和技巧，提高解题速度和准确性。
  4. 加强思维训练：培养逻辑思维和空间想象力，提高解题能力。

总结

通过对2012年四川高考数学难题的解析和备考策略的介绍，相信考生能够更好地备战未来的高考。祝考生们在高考中取得优异成绩！