引言

南通数学一模试卷作为历年高考数学备考的重要参考，其难度和题型往往能反映出高考数学的命题趋势。本文将深入解析2013年南通数学一模试卷中的经典难题，并针对这些难题提供备考策略。

一、试卷概述

2013年南通数学一模试卷共分为选择题、填空题和解答题三个部分，涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等多个数学领域。试卷难度适中，既考察了学生的基础知识，又考察了学生的综合运用能力。

二、经典难题解析

难题一：函数问题

题目描述：已知函数\(f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\)，求\(f(x)\)的值域。

解析：

  1. 首先，将\(f(x)\)化简为\(f(x)=\frac{2}{x^2-1}\)。
  2. 由于分母\(x^2-1\)不可能为0，因此\(f(x)\)的定义域为\(x\neq \pm 1\)。
  3. 当\(x>1\)或\(x<-1\)时，分母\(x^2-1\)为正，因此\(f(x)\)为负。
  4. 当\(-1<x<1\)时，分母\(x^2-1\)为负，因此\(f(x)\)为正。
  5. 由于\(f(x)\)为分式函数，其值域为全体实数。

难题二：数列问题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=3^n-2^n\)，求\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解析：

  1. 将\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)代入通项公式，得到\(\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n-2^n}\)。
  2. 对分子和分母同时除以\(3^n\)，得到\(\frac{3-2\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}\)。
  3. 当\(n\to\infty\)时，\(\left(\frac{2}{3}\right)^n\to 0\)，因此\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=3\)。

难题三：立体几何问题

题目描述：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，求点\(A\)到平面\(B_1C_1D_1\)的距离。

解析：

  1. 连接\(A_1D_1\)，交\(B_1C_1\)于点\(E\)。
  2. 由于\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)为正方体，因此\(A_1D_1\perp B_1C_1\)。
  3. 又因为\(A_1D_1\perp AD\)，所以\(A_1D_1\perp\)平面\(ABCD\)。
  4. 因此，\(A_1D_1\perp\)平面\(B_1C_1D_1\)。
  5. 由于\(AE=DE=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(A_1E=1\)，所以\(AE^2+DE^2=A_1E^2\)。
  6. 因此，\(\triangle AED\)为直角三角形，\(AE\perp DE\)。
  7. 由于\(A_1D_1\perp\)平面\(B_1C_1D_1\)，\(AE\perp DE\)，所以\(AE\perp\)平面\(B_1C_1D_1\)。
  8. 因此，点\(A\)到平面\(B_1C_1D_1\)的距离为\(AE=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。

三、备考策略

1. 系统复习基础知识

南通数学一模试卷考察的知识点较为全面，因此考生需要系统复习基础知识，确保对每个知识点都有深入的理解。

2. 注重解题技巧的培养

解题技巧是解决数学问题的关键，考生需要通过大量的练习来提高自己的解题技巧。

3. 关注题型变化和命题趋势

南通数学一模试卷的题型和命题趋势往往能反映出高考数学的命题方向，考生需要关注这些变化，以便更好地应对高考。

4. 做好模拟训练

模拟训练是检验备考效果的重要手段，考生需要通过模拟训练来检验自己的备考成果，并及时调整备考策略。

结语

南通数学一模试卷作为高考数学备考的重要参考，其难度和题型值得考生深入研究。通过本文对2013年南通数学一模试卷中经典难题的解析和备考策略的介绍，希望考生能够更好地备战高考数学。