2013年南中考数学试卷中，有一道题目引起了广泛关注，这道题目不仅考验了学生的数学基础知识，还考验了他们的解题技巧和思维能力。本文将深入剖析这道题目，分析其背后的数学原理和解题策略，帮助读者更好地理解数学的奥妙。
一、题目回顾
2013年南中考数学试卷中，这道难题如下：
题目：已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)（其中\(a \neq 0\)），若\(f(1)=3\)，\(f(2)=7\)，\(f(3)=13\)，求函数\(f(x)\)的解析式。
二、解题思路
要解决这个问题，我们需要找到函数\(f(x)\)的系数\(a\)、\(b\)和\(c\)。由于已知三个点的函数值，我们可以建立三个方程，然后求解这个方程组。
1. 建立方程组
根据题目条件，我们有：
\[ \begin{cases} f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 3 \\ f(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 7 \\ f(3) = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = 13 \end{cases} \]
将上述方程组展开，得到：
\[ \begin{cases} a + b + c = 3 \\ 4a + 2b + c = 7 \\ 9a + 3b + c = 13 \end{cases} \]
2. 解方程组
我们可以通过消元法来解这个方程组。首先，我们将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相减，消去\(b\)：
\[ \begin{align*} 2(a + b + c) &= 6 \\ 4a + 2b + c &= 7 \\ \hline 2a + b &= 1 \quad \text{(方程④)} \end{align*} \]
接下来，我们将第一个方程乘以3，然后与第三个方程相减，消去\(b\)：
\[ \begin{align*} 3(a + b + c) &= 9 \\ 9a + 3b + c &= 13 \\ \hline 6a + 3b &= 4 \quad \text{(方程⑤)} \end{align*} \]
现在，我们有了方程④和方程⑤，可以解出\(a\)和\(b\)：
\[ \begin{align*} 2a + b &= 1 \quad \text{(方程④)} \\ 6a + 3b &= 4 \quad \text{(方程⑤)} \\ \hline 4a + 2b &= 2 \quad \text{(将方程④乘以2)} \\ \hline 2a + b &= 1 \quad \text{(方程④)} \\ 4a + 2b &= 2 \quad \text{(方程④乘以2)} \\ \hline 2a &= 1 \\ a &= \frac{1}{2} \end{align*} \]
将\(a = \frac{1}{2}\)代入方程④，得到：
\[ 2 \cdot \frac{1}{2} + b = 1 \\ b = 0 \]
最后，将\(a\)和\(b\)的值代入任意一个方程，解出\(c\)：
\[ \frac{1}{2} + 0 + c = 3 \\ c = \frac{5}{2} \]
因此，函数\(f(x)\)的解析式为：
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 0x + \frac{5}{2} \]
三、总结
通过以上分析，我们成功地解出了2013年南中考数学难题。这道题目不仅考验了学生的数学基础知识，还考验了他们的解题技巧和思维能力。通过这道题目，我们可以看到数学的奥妙和魅力。希望本文的分析能够帮助读者更好地理解数学，并在未来的学习中取得更好的成绩。