引言
2013年全国高考数学2试卷中的难题一直是考生和教师关注的焦点。这些难题不仅考察了学生的数学基础，还考验了他们的逻辑思维和创新能力。本文将深入解析2013年全国高考数学2试卷中的部分难题，并提供相应的应对策略，帮助考生在未来的考试中更好地应对类似问题。
一、难题解析
1. 难题一：函数与导数
题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求\(f'(x)\)，并分析函数的单调性和极值。
解题步骤：
- 求导数：根据导数的定义，对\(f(x)\)求导得\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。
- 分析单调性：求\(f'(x)\)的零点，即解方程\(3x^2 - 6x + 4 = 0\)，得到\(x = 1\)和\(x = \frac{2}{3}\)。通过绘制导数图像或分析导数的符号，可以得出函数在\(x = \frac{2}{3}\)处取得极大值，在\(x = 1\)处取得极小值。
- 分析极值：将\(x = \frac{2}{3}\)和\(x = 1\)代入原函数，得到\(f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{5}{27}\)和\(f(1) = 2\)。
应对策略：在解题时，要熟练掌握导数的概念和求导法则，并能灵活运用导数分析函数的性质。
2. 难题二：数列与极限
题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\)，求\(\lim_{n \to \infty} a_n\)。
解题步骤：
- 分析数列的性质：首先可以证明数列\(\{a_n\}\)是单调递增的。然后，通过构造辅助数列\(b_n = a_n^2 - 1\)，可以证明\(b_n\)是单调递增的，且\(b_n > 0\)。
- 求解极限：由于\(b_n\)是单调递增的，且\(b_n > 0\)，所以\(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty\)。因此，\(\lim_{n \to \infty} a_n^2 = \infty\)，从而得到\(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\)。
应对策略：在解题时，要善于构造辅助数列，利用数列的性质求解极限。
3. 难题三：概率与统计
题目描述：袋中有5个红球，3个蓝球，2个绿球，现从袋中随机取出3个球，求取出的3个球颜色各不相同的概率。
解题步骤：
- 计算总的取法：从10个球中取出3个球的取法共有\(C_{10}^3\)种。
- 计算颜色各不相同的取法：颜色各不相同的取法有\(C_5^1 \cdot C_3^1 \cdot C_2^1\)种。
- 计算概率：所求概率为\(\frac{C_5^1 \cdot C_3^1 \cdot C_2^1}{C_{10}^3}\)。
应对策略：在解题时，要熟练掌握组合数的计算方法，并能灵活运用概率的计算公式。
二、总结
通过对2013年全国高考数学2试卷中部分难题的解析，我们可以看到，这些难题主要考察了学生的数学基础、逻辑思维和创新能力。在应对这些难题时，我们需要熟练掌握相关的数学知识和解题技巧，同时也要注重培养自己的思维能力。希望本文的解析和应对策略能对考生有所帮助。