一、2014年陕西理科数学试卷概述
2014年陕西理科数学试卷分为选择题、填空题、解答题三个部分，涵盖了函数、数列、三角、立体几何、解析几何、概率统计等知识点。试卷难度适中，既考察了学生的基础知识，又考察了学生的综合运用能力。
二、难题解析
1. 选择题难题解析
（1）题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)，求\(f(x)\)的极值。
解析：
首先，求出\(f(x)\)的导数\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。当\(x<\frac{2}{3}\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。因此，\(x=\frac{2}{3}\)为极大值点，\(x=1\)为极小值点。计算得\(f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{58}{27}\)，\(f(1)=8\)。
（2）题目：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3^n}\)。
解析：
由题意，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，即\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)。设\(b_n=a_n+1\)，则\(b_1=2\)，\(b_{n+1}=2b_n\)。因此，\(\{b_n\}\)为等比数列，公比为2。由等比数列的通项公式得\(b_n=2^n\)。则\(a_n=b_n-1=2^n-1\)。所以，\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-1}{3^n}=\frac{1}{3}\)。
2. 填空题难题解析
（1）题目：已知函数\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)，求\(f(x)\)的值域。
解析：
首先，对\(f(x)\)进行化简：\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\)。因此，\(f(x)\)的值域为\((-\infty,+\infty)\)。
3. 解答题难题解析
（1）题目：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+\frac{1}{a_n}\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}\)。
解析：
首先，证明数列\(\{a_n\}\)单调递增。由题意，\(a_{n+1}=2a_n+\frac{1}{a_n}\)，即\(a_{n+1}-a_n=2a_n+\frac{1}{a_n}-a_n=a_n+\frac{1}{a_n}>0\)。因此，数列\(\{a_n\}\)单调递增。
接下来，证明数列\(\{a_n\}\)有界。由题意，\(a_{n+1}=2a_n+\frac{1}{a_n}\geq 2\sqrt{2a_n\cdot\frac{1}{a_n}}=2\sqrt{2}\)。因此，\(a_n\geq 2\sqrt{2}\)。又因为\(a_n\)单调递增，所以\(\lim_{n\to\infty}a_n\)存在。
最后，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}\)。由夹逼准则，\(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}}\leq\frac{a_n}{\sqrt{n}}\leq\frac{a_n}{\sqrt{n}}\)。当\(n\to\infty\)时，\(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}}\to 0\)，所以\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=0\)。
三、备考策略
- 熟练掌握基础知识，注重基础训练。
- 加强解题技巧训练，提高解题速度和准确率。
- 做好模拟试题，熟悉考试题型和难度。
- 保持良好的心态，合理分配时间，避免紧张和焦虑。