引言

2015年山东高考数学试卷因其难度较高而备受考生和家长关注。本文将深入解析2015年山东高考数学试卷中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。

一、2015年山东高考数学试卷概述

2015年山东高考数学试卷分为必考题和选考题两部分，共25题。试卷内容涵盖了函数、数列、三角、立体几何、解析几何等模块，其中难度较大的题目主要集中在必考题部分。

二、难题解析

1. 难题一：函数综合题

题目描述：已知函数\(f(x) = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\)，求函数\(f(x)\)的单调区间和极值。

解析：

  • 首先，对函数\(f(x)\)进行化简，得到\(f(x) = \frac{2}{x^2-1}\)。
  • 然后，分析函数的定义域，发现\(x \neq \pm1\)。
  • 接着，求导得到\(f'(x) = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}\)。
  • 分析导数的符号，得到函数在\((-\infty, -1)\)和\((1, +\infty)\)上单调递减，在\((-1, 1)\)上单调递增。
  • 计算极值，得到\(f(-1) = -2\)为极小值，\(f(1) = 2\)为极大值。

2. 难题二：数列综合题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = n^2 - n + 1\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解析：

  • 直接代入通项公式，得到\(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 - (n+1) + 1}{n^2 - n + 1}\)。
  • 化简得到\(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n}{n^2 - n} = 1 + \frac{3}{1 - \frac{1}{n}}\)。
  • 当\(n \to \infty\)时，\(\frac{1}{n} \to 0\)，因此\(\lim_{n \to \infty} \frac{3}{1 - \frac{1}{n}} = 3\)。
  • 所以，\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4\)。

3. 难题三：立体几何题

题目描述：已知长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB = 3\)，\(BC = 4\)，\(BB_1 = 5\)，求点\(A\)到平面\(B_1C_1D_1\)的距离。

解析：

  • 首先，计算长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的体积\(V = AB \cdot BC \cdot BB_1 = 60\)。
  • 然后，计算以\(AB\)为底面的三棱锥\(B_1ABC\)的体积\(V_1 = \frac{1}{3} \cdot AB \cdot BC \cdot BB_1 = 20\)。
  • 接着，计算以\(BC\)为底面的三棱锥\(A_1B_1CD\)的体积\(V_2 = \frac{1}{3} \cdot BC \cdot BB_1 \cdot AC = 40\)。
  • 最后，计算以\(BB_1\)为底面的三棱锥\(A_1BCD\)的体积\(V_3 = \frac{1}{3} \cdot BB_1 \cdot AC \cdot AD = 30\)。
  • 由等体积法得到点\(A\)到平面\(B_1C_1D_1\)的距离\(d = \frac{V_1}{V} = \frac{1}{3}\)。

三、备考策略

1. 系统复习基础知识

  • 加强对函数、数列、三角、立体几何、解析几何等基础知识的复习，确保对基本概念和定理的熟练掌握。

2. 强化解题技巧

  • 练习各种类型的题目，提高解题速度和准确率。
  • 学习解题技巧，如画图、构造函数、构造数列等。

3. 做好模拟试题

  • 定期做模拟试题，检验学习效果，发现问题并及时解决。

4. 保持良好的心态

  • 考试前要保持良好的心态，避免过度紧张和焦虑。
  • 考试中要沉着冷静，遇到难题时要善于分析、寻找解题思路。

通过以上策略，相信考生在未来的高考中能够取得优异的成绩。