揭秘2015全国数学高考卷：难点解析与备考策略大揭秘

引言

2015年全国数学高考卷作为历年高考的重要参考，其难度和题型都备受关注。本文将深入解析2015年全国数学高考卷的难点，并提供相应的备考策略，帮助考生更好地应对高考。

一、2015年全国数学高考卷概述

2015年全国数学高考卷分为理科和文科两个版本，共分为选择题、填空题和解答题三个部分。试卷内容涵盖了函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计等多个知识点。

二、难点解析

1. 函数与导数

2015年高考数学试卷中，函数与导数的题目难度较大，主要体现在对函数性质的理解和应用上。例如，一些题目要求考生能够灵活运用导数判断函数的单调性、极值等。

例题：设函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)，求\(f(x)\)的极值。

解答：首先求出\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)，令\(f'(x) = 0\)，得\(x = 0\)或\(x = 2\)。当\(x < 0\)时，\(f'(x) > 0\)；当\(0 < x < 2\)时，\(f'(x) < 0\)；当\(x > 2\)时，\(f'(x) > 0\)。因此，\(x = 0\)为极大值点，\(x = 2\)为极小值点。

2. 立体几何

立体几何题目在2015年高考中难度较大，主要考察考生的空间想象能力和几何证明能力。例如，一些题目要求考生能够灵活运用空间几何公式进行计算和证明。

例题：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，\(E\)为\(A_1B_1\)的中点，\(F\)为\(B_1C_1\)的中点，求证：\(EF\)垂直于平面\(ADD_1A_1\)。

解答：连接\(A_1D\)，\(A_1F\)，由于\(A_1D\)垂直于\(AD\)，\(A_1F\)垂直于\(AF\)，且\(AD = AF\)，因此\(A_1D\)垂直于\(A_1F\)。又因为\(A_1D\)垂直于\(AB\)，\(A_1F\)垂直于\(AC\)，所以\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)是正方体，从而\(A_1D\)垂直于\(A_1B_1\)。由于\(E\)、\(F\)分别为\(A_1B_1\)、\(B_1C_1\)的中点，所以\(EF\)垂直于\(A_1B_1\)。又因为\(A_1D\)垂直于\(A_1B_1\)，所以\(EF\)垂直于平面\(ADD_1A_1\)。

3. 解析几何

解析几何题目在2015年高考中主要考察考生的直线、圆、圆锥曲线等知识点的综合运用。例如，一些题目要求考生能够灵活运用解析几何公式进行计算和证明。

例题：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为\(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\)，直线\(l\)与椭圆相切于点\(P\)，\(Q\)为\(l\)上一点，且\(|F_1P| = |F_1Q|\)，求直线\(l\)的斜率。

解答：设直线\(l\)的方程为\(y = kx + m\)，代入椭圆方程得\((1 + k^2)\frac{x^2}{a^2} + \frac{(kx + m)^2}{b^2} = 1\)。化简得\((1 + k^2)\frac{x^2}{a^2} + \frac{k^2x^2}{b^2} + \frac{2kmx}{b^2} + \frac{m^2}{b^2} - 1 = 0\)。由于直线\(l\)与椭圆相切，所以判别式\(\Delta = 0\)，即\((1 + k^2)\frac{m^2}{b^2} - 1 = 0\)。又因为\(|F_1P| = |F_1Q|\)，所以\(P\)、\(Q\)关于\(x\)轴对称，即\(y_P = -y_Q\)。代入直线\(l\)的方程得\(k = \pm\frac{b}{a}\)。

三、备考策略

1. 夯实基础

考生应重视基础知识的学习，加强对函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计等知识点的理解和掌握。

2. 强化训练

考生应通过大量练习提高解题速度和准确率，特别是针对高考中的难点和易错点进行专项训练。

3. 合理安排时间

考生在备考过程中应合理安排时间，确保各科目的学习均衡，避免偏科。

4. 做好心理调适

考生在备考过程中应保持良好的心态，避免过度紧张和焦虑，以最佳状态迎接高考。