一、2015年数学高考真题概述
2015年的数学高考真题涵盖了高中数学的各个知识点，包括代数、几何、概率统计等。本题将以全国卷为例，分析其中的典型题目，并揭秘解题思路与技巧。
二、典型题目解析
1. 代数题目
题目：已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)，其中\(a \neq 0\)，且\(f(1)=2\)，\(f(2)=5\)，\(f(3)=8\)，求函数的解析式。
解题思路：
- 利用已知条件，列出方程组；
- 解方程组，求出\(a\)、\(b\)、\(c\)的值；
- 将求出的值代入函数，得到解析式。
详细解答：
- 方程组为： [ \begin{cases} a + b + c = 2 \ 4a + 2b + c = 5 \ 9a + 3b + c = 8 \end{cases} ]
- 解方程组，得： [ \begin{cases} a = 1 \ b = -2 \ c = 3 \end{cases} ]
- 代入函数，得解析式\(f(x)=x^2-2x+3\)。
2. 几何题目
题目：在平面直角坐标系中，点\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,6)\)，求\(\triangle ABC\)的外接圆方程。
解题思路：
- 利用坐标求出\(\triangle ABC\)的三边长；
- 求出\(\triangle ABC\)的外接圆圆心坐标；
- 根据圆心和半径，写出外接圆方程。
详细解答：
- 三边长分别为： [ AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = 2\sqrt{2} ] [ BC = \sqrt{(5-3)^2 + (6-4)^2} = 2\sqrt{2} ] [ AC = \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = 4\sqrt{2} ]
- 设外接圆圆心为\(O(x,y)\)，则： [ OA^2 = OB^2 = OC^2 ] [ (x-1)^2 + (y-2)^2 = (x-3)^2 + (y-4)^2 = (x-5)^2 + (y-6)^2 ]
- 解方程，得圆心\(O(3,4)\)，半径\(r=2\sqrt{2}\)；
- 外接圆方程为： [ (x-3)^2 + (y-4)^2 = 8 ]
3. 概率统计题目
题目：某班有30名学生，其中有10名男生，20名女生。现从该班中随机抽取3名学生，求抽到2名男生和1名女生的概率。
解题思路：
- 利用组合数计算基本事件总数；
- 利用组合数计算抽到2名男生和1名女生的基本事件个数；
- 根据概率公式，求出所求概率。
详细解答：
- 基本事件总数为： [ C_{30}^3 = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060 ]
- 抽到2名男生和1名女生的基本事件个数为： [ C{10}^2 \times C{20}^1 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times 20 = 900 ]
- 所求概率为： [ P = \frac{900}{4060} \approx 0.221 ]
三、解题技巧总结
- 代数题目：熟练掌握公式，灵活运用代数运算，注意符号。
- 几何题目：掌握几何图形的性质，运用几何知识解决问题。
- 概率统计题目：理解概率统计概念，熟练运用概率公式。
通过以上解析，相信大家已经对2015年数学高考真题的解题思路与技巧有了更深入的了解。希望对大家的备考有所帮助！