揭秘2015天津数学高考题：难题解析与备考攻略大揭秘

引言

高考作为我国教育体系中的一项重要考试，对于广大考生来说，具有重要的意义。数学作为高考必考科目之一，其难度和深度一直是考生关注的焦点。本文将深入解析2015年天津数学高考题中的难题，并为您提供备考攻略。

一、2015天津数学高考题难题解析

1. 难题一：函数与导数

题目回顾

已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，求$f'(x)$。

解题步骤

对$f(x)$求导，得到$f'(x) = 3x^2 - 6x$。
分析导数的符号，确定函数的单调性。
求导数的零点，得到$x=0$和$x=2$。
根据单调性和零点，确定函数的极值。

解答

$f'(x) = 3x^2 - 6x$，当$x<0$时，$f'(x)>0$；当$0<x<2$时，$f'(x)<0$；当$x>2$时，$f'(x)>0$。因此，$x=0$是$f(x)$的极大值点，$x=2$是$f(x)$的极小值点。

2. 难题二：数列与极限

题目回顾

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{1}{a_n})$，求$\lim_{n\to\infty}a_n$。

解题步骤

判断数列$\{a_n\}$的极限是否存在。
利用夹逼准则求解极限。

解答

首先，判断数列$\{a_n\}$的极限是否存在。由于$a_n>0$，故数列$\{a_n\}$有界。又因为$a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{1}{a_n})$，故数列$\{a_n\}$单调递增。因此，数列$\{a_n\}$的极限存在。

接下来，利用夹逼准则求解极限。由于$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}(a_n - \frac{1}{a_n}) > 0$，故数列$\{a_n\}$单调递增。又因为$a_n \leq 1$，故$\lim_{n\to\infty}a_n \leq 1$。

设$\lim_{n\to\infty}a_n = A$，则$A = \frac{1}{2}(A + \frac{1}{A})$，解得$A=1$。因此，$\lim_{n\to\infty}a_n = 1$。

3. 难题三：立体几何

题目回顾

已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$，$M$为$CD$的中点，$N$为$A_1D_1$的中点，求$\triangle BNM$的面积。

解题步骤

确定正方体的边长。
确定三角形$BNM$的三边长度。
利用海伦公式求解三角形$BNM$的面积。

解答

设正方体的边长为$a$，则$BM = \sqrt{2}a$，$BN = \sqrt{3}a$，$MN = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。

由海伦公式，三角形$BNM$的面积为： $$ S_{\triangle BNM} = \sqrt{p(p - BM)(p - BN)(p - MN)} $$ 其中，$p = \frac{BM + BN + MN}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}a$。

代入数据，得到： $$ S_{\triangle BNM} = \sqrt{\frac{3\sqrt{2}}{2}a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}a \cdot \frac{\sqrt{6}}{4}a} = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 $$

二、备考攻略

1. 提高数学基础

数学基础是解决难题的关键。考生应熟练掌握基本概念、定理和公式，为解决难题打下坚实基础。

2. 培养解题技巧

解题技巧是解决难题的关键。考生应多做题、多总结，掌握各种题型的解题方法。

3. 注重审题能力

审题能力是解决难题的前提。考生在解题过程中，要仔细阅读题目，理解题意，避免因审题不清而导致错误。

4. 保持良好心态

面对难题，考生要保持良好心态，相信自己能够解决。在解题过程中，遇到困难不要气馁，要勇于尝试、勇于突破。