引言

2016年东城区二模数学试卷作为历年高考模拟考试的佼佼者，其难度和深度一直备受考生和教师关注。本文将深入解析2016年东城二模数学试卷中的难题，并提供相应的备考攻略，帮助考生在备考过程中更好地应对类似题型。

一、难题解析

1. 难题一：函数与导数

题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程。

解析：

  • 首先求出\(f(x)\)的导数\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。
  • 然后将\(x=1\)代入导数中，得到\(f'(1) = 1\)。
  • 求出\(f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1 = 3\)。
  • 因此，切线方程为\(y - 3 = 1(x - 1)\)，即\(y = x + 2\)。

2. 难题二：数列与不等式

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。

解析：

  • 通过观察数列的递推公式，可以发现\(a_n\)随着\(n\)的增大而增大。
  • 证明数列\(\{a_n\}\)是单调递增的，即\(a_{n+1} > a_n\)。
  • 利用单调有界原理，可以得出\(\lim_{n \to \infty} a_n\)存在。
  • 设\(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)，则\(L = L^2 - L + 1\)，解得\(L = 1\)或\(L = 2\)。
  • 由于\(a_n\)是单调递增的，所以\(\lim_{n \to \infty} a_n = 2\)。
  • 因此，\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = 2\)。

3. 难题三：立体几何与三角函数

题目描述：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，\(E\)为\(AB\)的中点，\(F\)为\(A_1D_1\)的中点，求\(\angle AEF\)的大小。

解析：

  • 连接\(AE\)和\(AF\)，由于\(E\)和\(F\)分别是\(AB\)和\(A_1D_1\)的中点，所以\(AE = AF = \sqrt{2}\)。
  • 在\(\triangle AEF\)中，由余弦定理可得\(\cos \angle AEF = \frac{AE^2 + AF^2 - EF^2}{2 \times AE \times AF}\)。
  • 由于\(EF\)是正方体的对角线，所以\(EF = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\)。
  • 代入余弦定理公式，得到\(\cos \angle AEF = \frac{2 + 2 - 8}{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}\)。
  • 因此，\(\angle AEF = 120^\circ\)。

二、备考攻略

1. 理解基础知识

  • 复习和巩固数学基础知识，包括函数、数列、立体几何、三角函数等。
  • 理解各个知识点的概念、性质和公式，为解决难题打下坚实基础。

2. 深入研究题型

  • 分析历年高考模拟试题，特别是东城二模等高难度试题。
  • 总结不同题型的解题思路和方法，提高解题技巧。

3. 加强练习

  • 定期进行模拟考试，熟悉考试节奏和时间分配。
  • 针对难题进行专项练习，提高解题速度和准确率。

4. 注重解题思路

  • 在解题过程中，注重培养逻辑思维和推理能力。
  • 学会从不同角度思考问题，寻找解题的突破口。

5. 保持良好心态

  • 考试前保持充足的睡眠，调整好心态。
  • 遇到难题不要慌张，冷静分析，逐步解决。

通过以上解析和备考攻略，相信考生们能够在备考过程中更好地应对数学难题，取得优异的成绩。