引言
2016年广海杯数学竞赛是一场国内外众多数学爱好者关注的数学竞赛。本文将对2016年广海杯数学竞赛中的部分难题进行详细解析，并提供相应的答案。
难题一：解析几何问题
题目
设椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a>b>0\)）的左焦点为\(F_1\)，右焦点为\(F_2\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)。求证：\(\frac{PF_1}{PF_2}=\frac{a}{c}\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。
解析
- 连接\(F_1P\)和\(F_2P\)：由于\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)，根据勾股定理，有\(PF_1^2 + PF_2^2 = F_1F_2^2\)。
- 利用椭圆的定义：椭圆的定义为到两焦点距离之和为常数\(2a\)，即\(PF_1 + PF_2 = 2a\)。
- 结合以上两点：可以得到\(PF_1^2 + (2a - PF_1)^2 = (2c)^2\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。
- 化简求解：将上式化简，可得\(PF_1 = \frac{a}{c}\)，同理可得\(PF_2 = \frac{2a}{c}\)。
答案
证明如上解析所示。
难题二：组合数学问题
题目
有10个人参加一个比赛，其中有3个人是连续的。求出这10个人中任意3人组成一个三人的组合，至少有1个是连续的，的不同组合数。
解析
- 计算总组合数：从10个人中任意选择3个人，总共有\(C_{10}^3\)种组合。
- 计算非连续组合数：非连续组合即为3个人中任意2个人不相邻，设这3个人为\(a, b, c\)，则\(a, b, c\)之间的空隙为\(\_a\_b\_c\_\)，总共有4个空隙可以插入1个人。
- 计算非连续组合方式：从7个人中任意选择1个人插入空隙，有\(C_7^1\)种方式。
- 计算结果：非连续组合数为\(C_7^1\)，总组合数为\(C_{10}^3\)，所以至少有1个连续的组合数为\(C_{10}^3 - C_7^1\)。
答案
至少有1个连续的组合数为\(C_{10}^3 - C_7^1\)。
总结
本文对2016广海杯数学竞赛中的两个难题进行了详细的解析，并给出了相应的答案。希望本文对广大数学爱好者有所帮助。