揭秘2016年高考数学全国卷2文科：挑战难题，解析关键技巧

引言

高考作为中国最重要的升学考试之一，每年都吸引着无数考生的关注。2016年的高考数学全国卷2文科试卷中，既有基础题，也有难度较高的挑战题。本文将深入解析这份试卷中的难题，并提供相应的解题技巧，帮助考生更好地理解和掌握高考数学的解题思路。

一、试卷结构分析

2016年高考数学全国卷2文科试卷共分为四个部分，包括选择题、填空题、解答题和应用题。试卷总分为150分，其中选择题和填空题共50分，解答题和应用题共100分。

二、难题解析

1. 选择题

选择题部分涵盖了集合、函数、三角、数列等多个知识点。其中，难度较大的题目是第17题，涉及到了复数和三角函数的结合。

解析：

利用复数的几何意义，将复数与三角函数的关系转化为直角坐标系中的几何问题。
通过几何方法求解三角函数的值，再利用复数的运算法则进行计算。

示例代码：

import cmath

# 复数表示
z = cmath.rect(1, cmath.pi/6)  # 实部1，虚部根号3/2

# 计算复数的模长和辐角
modulus = abs(z)
argument = cmath.phase(z)

# 计算三角函数值
sin = modulus * cmath.sin(argument)
cos = modulus * cmath.cos(argument)

print("sin:", sin)
print("cos:", cos)

2. 填空题

填空题部分难度适中，其中第24题是一道综合性较强的题目。

解析：

分析题干，找出各个条件之间的关系。
利用不等式的性质和函数的性质进行求解。

示例： 设函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$为常数，且$a > 0$，$f(0) = 1$，$f(1) = 3$，$f(2) = 5$。求证：$f(x) > 1$ 对所有$x \in \mathbb{R}$成立。

证明： 由题意得：$f(0) = 1$，$f(1) = 3$，$f(2) = 5$。 $$ \begin{aligned} f(0) &= 1 = c, \\ f(1) &= a + b + c = 3, \\ f(2) &= 4a + 2b + c = 5. \end{aligned} $$ 解得$a = 1, b = 1, c = 1$，即$f(x) = x^2 + x + 1$。对于所有$x \in \mathbb{R}$，$f(x) = x^2 + x + 1 > 1$。

3. 解答题

解答题部分共有三道题目，其中第25题是一道综合性较强的题目，涉及到了三角函数、数列和导数的知识点。

解析：

分析题干，找出各个条件之间的关系。
利用三角函数的性质和数列的性质进行求解。
利用导数的性质求函数的极值。

示例： 已知函数$f(x) = \sin x + \cos x$，求证：$f(x) \leq \sqrt{2}$ 对所有$x \in \mathbb{R}$成立。

证明： $$ \begin{aligned} f(x) &= \sin x + \cos x \\ &= \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) \\ &= \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right). \end{aligned} $$ 因为$\sin$函数的取值范围为$[-1, 1]$，所以$\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \sqrt{2}$。

三、关键技巧总结

对于选择题和填空题，要熟悉各个知识点的应用，注重基础知识的掌握。
解答题部分，要注意审题，分析题干，找出各个条件之间的关系，利用相关知识点进行求解。
对于综合性较强的题目，要学会运用多种知识点和数学工具进行解题。
注意数学表达式的规范性，避免因表达不准确而失分。