引言
高考数学作为高考的重要组成部分，其解题技巧的掌握对于考生来说至关重要。本文将揭秘2016年全国二卷数学真题的答案，并通过详细的分析，帮助读者掌握高考数学解题技巧。
一、选择题部分
1. 选择题1（解析几何）
题目：已知椭圆 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，直线 \(y = kx + b\) 与椭圆相切，求 \(k\) 和 \(b\) 的值。
解答：
设直线与椭圆相切于点 $P(x_0, y_0)$，则有：
$$
\begin{cases}
\frac{x_0^2}{4} + \frac{y_0^2}{3} = 1 \\
y_0 = kx_0 + b
\end{cases}
$$
将 $y_0 = kx_0 + b$ 代入椭圆方程，得：
$$
\frac{x_0^2}{4} + \frac{(kx_0 + b)^2}{3} = 1
$$
化简得：
$$
(3 + 4k^2)x_0^2 + 8kbx_0 + 4b^2 - 12 = 0
$$
因为直线与椭圆相切，所以判别式 $\Delta = 0$，即：
$$
64k^2b^2 - 4(3 + 4k^2)(4b^2 - 12) = 0
$$
化简得：
$$
k^2 = \frac{3}{4}
$$
代入 $y_0 = kx_0 + b$，得：
$$
b = \pm \frac{3}{2}
$$
所以，$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，$b = \pm \frac{3}{2}$。
2. 选择题2（数列）
题目：已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 2^n - 1\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。
解答：
由题意，有：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 1}{2^{n-1} - 1}
$$
化简得：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 1}{2^{n-1} - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(2^{n-1} - \frac{1}{2})}{2^{n-1} - 1} = 2
$$
所以，$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = 2$。
二、填空题部分
1. 填空题1（函数）
题目：已知函数 \(f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}\)，求 \(f'(x)\)。
解答：
由题意，有：
$$
f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}
$$
化简得：
$$
f'(x) = \frac{-2\sqrt{x} + x}{2x^2}
$$
所以，$f'(x) = \frac{-2\sqrt{x} + x}{2x^2}$。
2. 填空题2（解析几何）
题目：已知圆 \(x^2 + y^2 = 1\)，直线 \(y = kx + b\) 与圆相切，求 \(k\) 和 \(b\) 的值。
解答：
由题意，有：
$$
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 1 \\
y = kx + b
\end{cases}
$$
将 $y = kx + b$ 代入圆方程，得：
$$
(1 + k^2)x^2 + 2kbx + b^2 - 1 = 0
$$
因为直线与圆相切，所以判别式 $\Delta = 0$，即：
$$
4k^2b^2 - 4(1 + k^2)(b^2 - 1) = 0
$$
化简得：
$$
k^2 = \frac{1}{1 + k^2}
$$
所以，$k = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$，$b = \pm \sqrt{2}$。
三、解答题部分
1. 解答题1（概率）
题目：从 \(0, 1, 2, 3, 4, 5\) 中随机抽取两个不同的数，求这两个数的和为奇数的概率。
解答：
从 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 中随机抽取两个不同的数，共有 $C_6^2 = 15$ 种情况。
其中，和为奇数的情况有 $(0, 1), (0, 3), (0, 5), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 4), (4, 5)$，共 $8$ 种情况。
所以，这两个数的和为奇数的概率为 $\frac{8}{15}$。
2. 解答题2（立体几何）
题目：已知长方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，\(AB = 2\)，\(BC = 3\)，\(AA_1 = 4\)，求长方体的体积。
解答：
长方体的体积为 $V = AB \times BC \times AA_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$。