引言

数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。2017年东城区初三数学考试中，出现了一些极具挑战性的题目，这些题目不仅考察了学生对基础知识的掌握程度，还考验了他们的解题技巧和策略。本文将针对这些难题进行揭秘，并提供相应的解题策略，帮助学生在类似的考试中取得更好的成绩。

难题一：解析几何中的动点问题

问题概述

题目描述：在平面直角坐标系中，点P在直线y=x上移动，点Q在直线y=-x上移动，且|PQ|=2。求点P的轨迹方程。

解题思路

  1. 建立坐标系：以原点为原点，建立平面直角坐标系。
  2. 设点坐标：设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（-x，-y）。
  3. 应用距离公式：根据|PQ|=2，应用两点之间的距离公式得到方程。
  4. 化简方程：将方程化简，得到点P的轨迹方程。

解题步骤

import sympy as sp

# 定义变量
x, y = sp.symbols('x y')

# 定义点P和点Q的坐标
P = sp.Point(x, y)
Q = sp.Point(-x, -y)

# 应用距离公式
distance = sp.sqrt((P.x - Q.x)**2 + (P.y - Q.y)**2)

# 求解方程
equation = sp.Eq(distance, 2)

# 化简方程
simplified_equation = sp.simplify(equation)

# 输出结果
simplified_equation

结果分析

通过计算，得到点P的轨迹方程为 \(x^2 + y^2 = 4\)。

难题二：概率与统计中的问题

问题概述

题目描述：某班共有40名学生，其中男生25名，女生15名。现从该班随机抽取3名学生参加比赛，求抽到至少1名女生的概率。

解题思路

  1. 计算总情况数：从40名学生中抽取3名，总情况数为组合数C(40, 3)。
  2. 计算不符合条件的情况数：计算全部为男生的情况数，即从25名男生中抽取3名，情况数为组合数C(25, 3)。
  3. 计算符合条件的情况数：总情况数减去不符合条件的情况数。
  4. 计算概率：将符合条件的情况数除以总情况数，得到所求概率。

解题步骤

from math import comb

# 计算总情况数
total_cases = comb(40, 3)

# 计算不符合条件的情况数
non_cases = comb(25, 3)

# 计算符合条件的情况数
cases = total_cases - non_cases

# 计算概率
probability = cases / total_cases

# 输出结果
probability

结果分析

通过计算，得到抽到至少1名女生的概率为0.7375。

总结

通过对2017年东城初三数学难题的解析，我们了解到解决这类问题需要掌握一定的解题技巧和方法。在今后的学习中，同学们应注重基础知识的积累，提高自己的解题能力，以应对更多具有挑战性的数学问题。