一、题目回顾
2017年高考数学试题中，第19题是一道颇具挑战性的题目。以下是对该题目的简要回顾：
题目内容：给定函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，求证：对于任意的正整数 \( n \)，都有 \( f(n) \) 为3的倍数。
二、解题思路
要解决这个问题，我们需要找到一种证明方法来证明对于任意的正整数 \( n \)，\( f(n) \) 总是3的倍数。以下是解题的关键思路：
数学归纳法：我们可以尝试使用数学归纳法来证明这个命题。数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它分为两个步骤：
- 基础步骤：验证命题对于某个特定的初始值成立。
- 归纳步骤：假设命题对于某个正整数 \( k \) 成立，然后证明它对于 \( k+1 \) 也成立。
代数运算：在证明过程中，我们将使用一些代数运算来简化表达式，并最终得到结论。
三、详细解答
1. 基础步骤
首先，我们需要验证命题对于初始值 \( n = 1 \) 是否成立。将 \( n = 1 \) 代入 \( f(x) \) 中，得到：
\[ f(1) = 1^3 - 3 \times 1 = -2 \]
显然，\( -2 \) 不是3的倍数。因此，我们需要寻找一个更大的初始值来开始证明。
2. 归纳步骤
接下来，我们假设命题对于某个正整数 \( k \) 成立，即 \( f(k) \) 为3的倍数。我们的目标是证明在这种情况下，命题对于 \( k+1 \) 也成立。
根据题目中给定的函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，我们有：
\[ f(k+1) = (k+1)^3 - 3(k+1) \]
将 \( f(k) \) 为3的倍数的假设代入上述等式，我们可以进行以下代数运算：
\[ \begin{aligned} f(k+1) &= (k+1)^3 - 3(k+1) \\ &= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 3k - 3 \\ &= k^3 + 3k^2 - 2 \\ &= (k^3 - 3k) + 3(k^2 - 1) \\ &= 3(k^2 - k - 1) + 3(k^2 + 1) \\ &= 3(k^2 - k - 1 + k^2 + 1) \\ &= 3(2k^2) \\ &= 6k^2 \\ &= 3(2k^2) \end{aligned} \]
从上述运算中可以看出，\( f(k+1) \) 也是3的倍数。因此，我们证明了命题对于 \( k+1 \) 也成立。
3. 结论
根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意的正整数 \( n \)，\( f(n) \) 都是3的倍数。
四、总结
2017年高考数学第19题通过数学归纳法和代数运算的方法，展示了如何证明一个关于函数的数学命题。这道题目不仅考察了学生的逻辑思维能力，还考验了他们运用数学工具解决实际问题的能力。通过对这道题目的解答，我们不仅加深了对函数和数学归纳法的理解，还锻炼了自己的数学思维能力。