引言

高考数学作为衡量学生数学水平的重要标准，一直是考生和家长关注的焦点。2017年江西高考数学理科试卷中，不乏一些难度较高的题目。本文将针对这些难题进行解析，并提供相应的备考策略，帮助考生在高考中取得优异成绩。

一、难题解析

1. 难题一：解析几何问题

题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(PF_1 + PF_2 = 4a\)。若直线 \(PF_1\) 的斜率为 \(k\)，求直线 \(PF_2\) 的斜率。

解题思路：利用椭圆的定义，将 \(PF_1 + PF_2 = 4a\) 转化为 \(PF_1^2 + PF_2^2 = 16a^2\)，然后利用点 \(P\) 在椭圆上的坐标，结合斜率的定义进行求解。

解题步骤：

  1. 根据椭圆的定义，有 \(PF_1^2 + PF_2^2 = 16a^2\)。
  2. 设点 \(P\) 的坐标为 \((x,y)\)，则 \(PF_1 = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}\)，\(PF_2 = \sqrt{(x-c)^2 + y^2}\)。
  3. 将 \(PF_1\) 和 \(PF_2\) 的表达式代入 \(PF_1^2 + PF_2^2 = 16a^2\)，得到 \((x+c)^2 + y^2 + (x-c)^2 + y^2 = 16a^2\)。
  4. 化简上式，得到 \(x^2 + 2cx + c^2 + y^2 + x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = 16a^2\)。
  5. 整理得 \(2x^2 + 2y^2 + 2c^2 = 16a^2\)，即 \(x^2 + y^2 = 8a^2 - c^2\)。
  6. 根据点 \(P\) 在椭圆上的坐标，可得 \(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\)。
  7. 联立上述两个方程，解得 \(x^2 = a^2(8a^2 - c^2)/b^2\)，\(y^2 = b^2(8a^2 - c^2)/a^2\)。
  8. 由于直线 \(PF_1\) 的斜率为 \(k\)，故 \(k = \frac{y}{x+c}\)。
  9. 将 \(x^2\) 和 \(y^2\) 的表达式代入 \(k\) 的表达式中，得到 \(k = \frac{b\sqrt{8a^2 - c^2}}{a\sqrt{8a^2 - c^2} + c}\)。
  10. 同理，可得直线 \(PF_2\) 的斜率为 \(-\frac{b\sqrt{8a^2 - c^2}}{a\sqrt{8a^2 - c^2} - c}\)。

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n = n^3 + n\)，求 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。

解题思路：利用数列的递推关系和极限的性质进行求解。

解题步骤：

  1. 根据数列的前 \(n\) 项和的定义，有 \(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\)。
  2. 根据数列的递推关系，可得 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)。
  3. 将 \(S_n = n^3 + n\) 代入上式，得到 \(a_n = (n^3 + n) - [(n-1)^3 + (n-1)]\)。
  4. 化简上式，得到 \(a_n = 3n^2 - 3n + 1\)。
  5. 同理，可得 \(a_{n-1} = 3(n-1)^2 - 3(n-1) + 1\)。
  6. 将 \(a_n\) 和 \(a_{n-1}\) 的表达式代入 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)，得到 \(\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2 - 3n + 1}{3(n-1)^2 - 3(n-1) + 1}\)。
  7. 化简上式，得到 \(\lim_{n\to\infty} \frac{n^2 - n + \frac{1}{3}}{(n-1)^2 - (n-1) + \frac{1}{3}}\)。
  8. 令 \(n \to \infty\)，可得 \(\lim_{n\to\infty} \frac{n^2 - n + \frac{1}{3}}{(n-1)^2 - (n-1) + \frac{1}{3}} = 1\)。

二、备考策略

1. 理解基础知识

考生应熟练掌握高中数学的基础知识，包括函数、数列、立体几何、解析几何等。只有基础知识扎实，才能在解决难题时游刃有余。

2. 做好题海战术

通过大量做题，考生可以熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。同时，做题过程中要注意总结规律，形成自己的解题思路。

3. 关注热点问题

高考数学试题往往与热点问题相结合，考生要关注社会热点，了解相关数学知识，提高解题能力。

4. 做好时间管理

在高考中，时间管理至关重要。考生要合理安排时间，确保在规定时间内完成所有题目。

5. 保持良好心态

高考是一场心理战，考生要保持良好心态，克服紧张情绪，发挥出最佳水平。

结语

本文针对2017年江西高考数学理科试卷中的难题进行了详细解析，并提出了相应的备考策略。希望考生通过本文的指导，能够在高考中取得优异成绩。