一、题目概述

2017年洛阳一模数学试卷在考查学生基础知识的同时，也注重考查学生的思维能力、创新能力和解决问题的能力。试卷内容丰富，题型多样，具有一定的难度。以下将针对试卷中的难题进行解析，并给出相应的备考策略。

二、难题解析

1. 难题一：函数与导数

题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程。

解题思路：

  1. 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)；
  2. 求切点坐标：\(f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 2 = 0\)；
  3. 求切线斜率：\(k = f'(1) = 3 \times 1^2 - 6 \times 1 = -3\)；
  4. 根据点斜式求切线方程：\(y - 0 = -3(x - 1)\)。

解析：本题主要考查学生对导数和切线方程的理解。解题关键是正确求出切点坐标和切线斜率。

2. 难题二：数列与不等式

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 + a_n\)，求\(\lim_{n \to \infty} a_n\)。

解题思路：

  1. 求通项公式：由递推关系式可得\(a_n^2 = a_{n-1}^2 + a_{n-1}\)，整理得\(a_n^2 - a_{n-1}^2 = a_{n-1}\)，即\((a_n + a_{n-1})(a_n - a_{n-1}) = a_{n-1}\)；
  2. 求解不等式：当\(n \geq 2\)时，\(a_n > 0\)，\(a_n - a_{n-1} > 0\)，故\(a_n + a_{n-1} > 0\)，即\(a_n - a_{n-1} = \frac{a_{n-1}}{a_n + a_{n-1}}\)；
  3. 证明数列有界：由不等式\(a_n - a_{n-1} = \frac{a_{n-1}}{a_n + a_{n-1}}\)，可得\(\frac{1}{a_n + a_{n-1}} > \frac{1}{2a_{n-1}}\)，即\(a_n + a_{n-1} < 2a_{n-1}\)，所以\(a_n < 2^n - 1\)；
  4. 求极限：由数列有界，可得\(\lim_{n \to \infty} a_n\)存在。

解析：本题主要考查学生对数列和不等式的理解。解题关键是正确求解通项公式和证明数列有界。

3. 难题三：立体几何与向量

题目描述：已知长方体\(ABCD - A_1B_1C_1D_1\)的边长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，\(E\)、\(F\)、\(G\)分别为棱\(AB\)、\(BC\)、\(CD\)的中点，求\(EF\)与\(CG\)的长度。

解题思路：

  1. 求向量\(\overrightarrow{EF}\)和\(\overrightarrow{CG}\)的坐标；
  2. 根据向量数量积的性质求\(\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{CG}\)；
  3. 利用长方体的性质，将\(\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{CG}\)表示为\(a\)、\(b\)、\(c\)的函数；
  4. 求解\(\overrightarrow{EF}\)和\(\overrightarrow{CG}\)的长度。

解析：本题主要考查学生对立体几何和向量的理解。解题关键是正确求出向量的坐标和数量积。

三、备考策略

  1. 基础知识的巩固：熟悉基本概念、公式、定理和性质，加强基础知识的学习。
  2. 提高解题能力：多做练习题，总结解题方法，提高解题速度和准确率。
  3. 培养逻辑思维能力：学会分析问题、解决问题的方法，提高逻辑思维能力。
  4. 关注时事热点：了解数学领域的最新研究成果，拓宽知识面。
  5. 保持良好的心态：考试前保持良好的心态，充分发挥自己的水平。

通过以上分析，相信同学们能够更好地了解2017年洛阳一模数学试卷的难度和特点，为备考提供参考。祝愿同学们在考试中取得优异的成绩！