一、题目回顾

2017年高考数学全国卷（II）理科第23题如下：

题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)，\(g(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}\)。

（1）证明：对于任意实数\(x\)，\(f(x) \geq g(x)\)； （2）若实数\(a\)，\(b\)满足\(a+b=2\)，\(a^2+b^2=4\)，求\(ab\)的最大值。

二、难点解析

1. 第一问解析

难点：证明不等式\(f(x) \geq g(x)\)。

解题思路：

  • 首先，对\(f(x)\)和\(g(x)\)进行简化，便于比较。
  • 然后，通过构造一个新函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)，证明\(h(x) \geq 0\)。

具体步骤：

  1. 简化函数：\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)，\(g(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}=x\)。
  2. 构造新函数：\(h(x)=f(x)-g(x)=x^3-4x^2+2x\)。
  3. 证明\(h(x) \geq 0\)：
    • 求导：\(h'(x)=3x^2-8x+2\)。
    • 解方程\(h'(x)=0\)，得到\(x_1=\frac{2}{3}\)，\(x_2=1\)。
    • 分析\(h(x)\)的单调性：当\(x<\frac{2}{3}\)或\(x>1\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增；当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减。
    • 求得\(h(x)\)的极值点\(x=\frac{2}{3}\)和\(x=1\)，计算\(h(\frac{2}{3})=\frac{4}{27}\)，\(h(1)=0\)。
    • 由于\(h(x)\)在\(x=\frac{2}{3}\)处取得极小值，且\(h(x)\)在\(x=1\)处取得最小值0，故\(h(x) \geq 0\)。

2. 第二问解析

难点：求\(ab\)的最大值。

解题思路：

  • 利用条件\(a+b=2\)，\(a^2+b^2=4\)，构造一个关于\(a\)和\(b\)的方程。
  • 利用方程求解\(ab\)的最大值。

具体步骤：

  1. 构造方程：由\(a+b=2\)，\(a^2+b^2=4\)，得\((a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4\)。
  2. 求解\(ab\)：\(2ab=4-(a^2+b^2)=4-4=0\)，即\(ab=0\)。
  3. 分析\(ab\)的最大值：由于\(a^2+b^2=4\)，\(a\)和\(b\)的取值范围为\(-2 \leq a \leq 2\)，\(-2 \leq b \leq 2\)。当\(a=b=1\)或\(a=b=-1\)时，\(ab\)取得最大值1。

三、解题技巧

  1. 构造新函数：对于证明不等式等问题，可以构造一个新函数，通过分析新函数的性质来解决问题。
  2. 利用条件：在解题过程中，要注意利用已知条件，构造方程或关系式，从而简化问题。
  3. 数形结合：在解题过程中，可以将数学问题与图形结合起来，利用图形的性质来解决问题。

四、总结

2017年高考数学第23题是一道典型的综合性题目，考查了函数、不等式、方程等知识点。通过构造新函数、利用条件、数形结合等方法，可以有效地解决这类问题。