引言

函数是数学中的重要概念，尤其在初中数学学习中占据着重要地位。2017年的中考数学中，函数题目往往以难题形式出现，考察学生对函数知识的深入理解和应用能力。本文将揭秘2017年中考数学中的函数难题，并提供相应的解题技巧，帮助同学们轻松掌握。

一、2017年中考数学函数难题解析

1. 题目一：函数图像问题

题目描述： 已知函数\(f(x) = ax^2 + bx + c\)的图像如下，求函数的解析式。

解题思路： 通过观察图像，确定函数的开口方向、顶点坐标和与坐标轴的交点，进而确定函数的系数。

解题步骤：

  1. 确定开口方向：根据图像，可知函数开口向上，因此\(a > 0\)。
  2. 确定顶点坐标：通过图像，可知顶点坐标为\((h, k)\)。
  3. 确定与坐标轴的交点：通过图像，可知与x轴的交点为\((x_1, 0)\)和\((x_2, 0)\)，与y轴的交点为\((0, c)\)。
  4. 根据以上信息，列出方程组，求解系数\(a\)、\(b\)和\(c\)。

2. 题目二：函数性质问题

题目描述： 已知函数\(f(x) = \frac{x}{x-1}\)，求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。

解题思路： 分别从定义域、值域、奇偶性和单调性四个方面进行分析。

解题步骤：

  1. 求定义域：由于分母不能为0，因此\(x \neq 1\)，所以函数的定义域为\(\{x | x \neq 1\}\)。
  2. 求值域：由于分子和分母均为一次函数，且分母系数为正，因此函数的值域为\(\{y | y \neq 0\}\)。
  3. 判断奇偶性：通过代入\(x = -x\)，可知函数为奇函数。
  4. 判断单调性：通过求导，可知函数在定义域内单调递增。

3. 题目三：函数综合应用问题

题目描述： 已知函数\(f(x) = x^2 - 2x + 1\)，求函数在\(x = 1\)到\(x = 3\)的增减性，并求函数的最大值和最小值。

解题思路： 通过求导判断函数的增减性，进而确定函数的最大值和最小值。

解题步骤：

  1. 求导：\(f'(x) = 2x - 2\)。
  2. 判断增减性：当\(x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。
  3. 求最大值和最小值：由于函数在\(x = 1\)时取得最小值0，在\(x = 3\)时取得最大值4。

二、解题技巧总结

  1. 观察图像：对于函数图像问题，通过观察图像可以快速确定函数的性质。
  2. 分步求解：对于综合应用问题，要分步进行求解，先求定义域、值域等基本性质，再求导数判断增减性。
  3. 运用公式：在解题过程中，要熟练运用公式和定理，提高解题效率。
  4. 举一反三：在解题过程中，要学会举一反三，将所学的知识应用到实际问题中。

通过以上解析和技巧总结，相信同学们能够轻松掌握2017年中考数学函数难题的解题方法。在今后的学习中，要注重函数知识的积累和应用，提高自己的数学能力。