引言
数学竞赛是检验数学爱好者能力和创新思维的重要平台，而俄国数学竞赛作为国际知名的比赛之一，每年都会吸引全球众多数学精英的参与。2018年的俄国数学竞赛也不例外，其中涌现出许多极具挑战性的数学难题。本文将深入解析这些难题，帮助读者更好地理解其背后的数学原理和解题思路。
难题一：数列极限问题
题目
设数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，对于\(n\geq2\)，有\(a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1}\)。求\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}\)的值。
解析
首先，观察数列的递推关系，可以发现\(a_n<1\)，且随着\(n\)的增大，\(a_n\)逐渐趋近于0。为了证明这一点，我们可以证明\(\{a_n\}\)是单调递减且有下界的数列。
证明：
单调性： 由于\(a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1}\)，对于\(n\geq2\)，有\(a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1}-a_{n-1}=\frac{-a_{n-1}}{a_{n-1}+1}<0\)，因此\(\{a_n\}\)是单调递减的。
有界性： 显然，\(a_1=1>0\)，假设对于某个\(k\)，\(a_k>0\)，则有\(a_{k+1}=\frac{a_k}{a_k+1}<1\)。由数学归纳法可知，\(\{a_n\}\)是有下界的。
因此，\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)。接下来，我们求\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}\)。
计算：
由于\(a_n\)单调递减且有下界，根据夹逼准则，\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=0\)。
难题二：函数方程问题
题目
设\(f(x)\)是定义在实数集上的连续函数，且满足\(f(x)f'(x)=1\)。求证：\(f(x)\neq0\)对所有\(x\in\mathbb{R}\)成立。
解析
首先，我们对给定的函数方程两边求导，得到\(f'(x)f'(x)+f(x)f''(x)=0\)。进一步化简，得到\(f''(x)=-\frac{f'(x)^2}{f(x)}\)。
接下来，我们考虑\(f(x)\)的符号。假设存在某个\(x_0\in\mathbb{R}\)，使得\(f(x_0)=0\)，那么\(f'(x_0)=0\)。但是，这与\(f(x)f'(x)=1\)矛盾。因此，\(f(x)\neq0\)对所有\(x\in\mathbb{R}\)成立。
总结
2018年俄国数学竞赛中的这两道难题分别考察了数列极限和函数方程的解法。通过对这些难题的解析，我们可以更好地理解数学中的极限、连续性、导数等概念。希望本文的解析能够帮助读者在数学学习的道路上取得更好的成绩。