一、试卷概述
2018年全国一卷理科数学试卷共分为选择题、填空题和解答题三个部分，涵盖了函数、数列、三角、立体几何、解析几何、概率统计等知识点。试卷难度适中，旨在考察学生的数学基础知识和综合运用能力。
二、选择题解析
1. 第1题：函数零点问题
解题思路：利用函数零点存在定理和导数判断函数零点个数。
解析：根据题意，设函数\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，求\(f(x)\)的零点个数。首先求导得\(f'(x) = 3x^2 - 3\)，令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。当\(x < -1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。因此，\(f(x)\)在\(x = -1\)处取得极大值，在\(x = 1\)处取得极小值。又因为\(f(-1) = 0\)，\(f(1) = 0\)，所以\(f(x)\)的零点个数为3。
2. 第9题：数列求和问题
解题思路：利用错位相减法求和。
解析：设数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，已知\(a_1 = 1\)，\(a_n = 2a_{n-1} - 1\)。则\(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\)。将\(S_n\)与\(2S_n\)相减，得\(S_n = 2a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} - a_n\)。又因为\(a_n = 2a_{n-1} - 1\)，代入上式，得\(S_n = 2a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} - (2a_{n-1} - 1)\)。整理得\(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + 1\)。因此，\(S_n = S_{n-1} + 1\)。由\(a_1 = 1\)，可得\(S_n = n\)。
三、填空题解析
1. 第12题：三角函数问题
解题思路：利用三角恒等变换和三角函数图像求解。
解析：设\(\sin x = \frac{1}{2}\)，\(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。由\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)，得\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
2. 第16题：数列问题
解题思路：利用等比数列求和公式求解。
解析：设数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公比为\(q\)，则\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)。已知\(a_1 = 2\)，\(a_5 = 32\)，则\(q = 2\)。因此，\(S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{2(1 - 2^5)}{1 - 2} = 62\)。
四、解答题解析
1. 第17题：立体几何问题
解题思路：利用向量法和空间几何知识求解。
解析：设点\(A(1, 0, 0)\)，\(B(0, 1, 0)\)，\(C(0, 0, 1)\)，则\(\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0)\)，\(\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 1)\)。设平面\(ABC\)的法向量为\(\overrightarrow{n} = (x, y, z)\)，则\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)，\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\)。解得\(x = 1\)，\(y = 1\)，\(z = 1\)。因此，平面\(ABC\)的法向量\(\overrightarrow{n} = (1, 1, 1)\)。
2. 第18题：解析几何问题
解题思路：利用解析几何知识和函数图像求解。
解析：设椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的左焦点为\(F_1(-c, 0)\)，右焦点为\(F_2(c, 0)\)。设直线\(l\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，\(AB\)的中点为\(M\)。由椭圆的定义知，\(|AF_1| + |AF_2| = 2a\)，\(|BF_1| + |BF_2| = 2a\)。因此，\(|AF_1| + |BF_1| = 4a\)。又因为\(|AF_1| + |BF_1| = 2|MF_1|\)，所以\(|MF_1| = 2a\)。同理，\(|MF_2| = 2a\)。因此，\(|AB| = |MF_1| + |MF_2| = 4a\)。
五、解题技巧总结
- 熟练掌握基础知识，如函数、数列、三角、立体几何、解析几何、概率统计等。
- 善于运用数学公式和定理，如三角恒等变换、等比数列求和公式、解析几何知识等。
- 提高空间想象能力和逻辑思维能力，善于运用向量法和空间几何知识。
- 培养良好的解题习惯，如认真审题、细心计算、规范书写等。