一、试卷概述
2019年全国三卷理科数学试卷共分为选择题、填空题和解答题三个部分，涵盖了数学的各个领域，包括函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等。试卷难度适中，既考察了学生的基础知识，又注重了学生的思维能力和解题技巧。
二、选择题解析
1. 函数部分
例题：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)，求\(f(x)\)的极值。
解析：首先求出函数的导数\(f'(x)=3x^2-6x+4\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。然后分别计算\(f(1)\)和\(f(\frac{2}{3})\)，得到\(f(1)=2\)，\(f(\frac{2}{3})=\frac{20}{27}\)。因此，\(f(x)\)的极大值为2，极小值为\(\frac{20}{27}\)。
2. 数列部分
例题：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^n-1\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)。
解析：根据通项公式，可得\(a_{n+1}=2^{n+1}-1\)。因此，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}\)。当\(n\)趋向于无穷大时，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)趋向于2。
三、填空题解析
1. 立体几何部分
例题：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，\(AB=2\)，\(E\)为\(A_1B_1\)的中点，求\(AE\)的长度。
解析：因为\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)是正方体，所以\(A_1B_1=AB=2\)。由勾股定理可得\(AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)。
2. 解析几何部分
例题：已知椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，求椭圆的离心率。
解析：椭圆的离心率\(e\)定义为\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c\)为焦点到中心的距离，\(a\)为椭圆的半长轴。由椭圆的标准方程可知，\(a=2\)，\(b=\sqrt{3}\)。根据椭圆的性质，有\(c^2=a^2-b^2\)，代入数值计算得\(c=1\)。因此，椭圆的离心率\(e=\frac{1}{2}\)。
四、解答题解析
1. 概率统计部分
例题：某班级有30名学生，其中有18名女生，12名男生。现从班级中随机抽取3名学生，求抽取的3名学生中至少有1名女生的概率。
解析：首先计算所有可能的抽取方式，即从30名学生中抽取3名学生的组合数\(C_{30}^3\)。然后计算抽取的3名学生都是男生的组合数\(C_{12}^3\)。最后，用1减去抽取的3名学生都是男生的概率，即\(1-\frac{C_{12}^3}{C_{30}^3}\)，得到至少有1名女生的概率。
2. 综合应用题
例题：已知函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)，求\(f(x)\)的单调区间。
解析：首先求出函数的导数\(f'(x)=3x^2-12x+9\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)。然后分别计算\(f'(x)\)在\(x<1\)、\(13\)三个区间上的符号，从而确定\(f(x)\)的单调递增和递减区间。
五、总结
通过对2019年全国三卷理科数学试卷的解析，我们可以了解到高考数学的命题特点和考查方向。在备考过程中，我们要注重基础知识的学习，同时也要提高解题技巧和思维能力。希望本文的解析能够帮助广大考生更好地理解高考数学的真谛。