引言

2019年全国一卷文科数学试卷在广大考生中引起了广泛关注。本文将详细解析这份试卷中的所有题目，帮助读者了解解题思路，掌握解题技巧。

一、选择题

题目1：函数的奇偶性

题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x\)，求\(f(-x)\)的值。

解析：

  1. 将\(x\)替换为\(-x\)，得到\(f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)\)。
  2. 计算\(f(-x) = -x^3 + 3x\)。

答案：\(f(-x) = -x^3 + 3x\)

题目2：数列的通项公式

题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2n - 1\)，求第10项的值。

解析：

  1. 将\(n = 10\)代入通项公式，得到\(a_{10} = 2 \times 10 - 1\)。
  2. 计算\(a_{10} = 19\)。

答案：\(a_{10} = 19\)

二、填空题

题目1：三角函数值

题目：已知\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(\cos 60^\circ\)的值。

解析：

  1. 根据三角函数的基本关系，\(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\)。
  2. 代入\(\theta = 60^\circ\)，得到\(\cos^2 60^\circ = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\)。
  3. 计算\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)。

答案：\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)

题目2：对数方程

题目：解对数方程\(\log_2 (x - 1) = 3\)。

解析：

  1. 将对数方程转化为指数方程，得到\(2^3 = x - 1\)。
  2. 计算\(x = 8 + 1\)。
  3. 得到\(x = 9\)。

答案：\(x = 9\)

三、解答题

题目1：圆锥曲线

题目：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求椭圆的方程。

解析：

  1. 椭圆的离心率\(e\)定义为\(e = \frac{c}{a}\)，其中\(c\)为焦距。
  2. 根据题意，\(e = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，代入离心率公式得到\(c = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)。
  3. 根据椭圆的定义，\(a^2 = b^2 + c^2\)，代入\(c\)的值，得到\(a^2 = b^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2\)。
  4. 解方程得到\(a^2 = 4b^2\)。
  5. 椭圆的方程为\(\frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

答案：\(\frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

题目2：数列与不等式

题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 3n - 2\)，求证数列\(\{a_n\}\)是递增数列。

解析：

  1. 设\(n_1 < n_2\)，则\(a_{n_1} = 3n_1 - 2\)，\(a_{n_2} = 3n_2 - 2\)。
  2. 计算\(a_{n_1} - a_{n_2} = 3n_1 - 2 - (3n_2 - 2) = 3(n_1 - n_2)\)。
  3. 由于\(n_1 < n_2\)，则\(n_1 - n_2 < 0\)，所以\(a_{n_1} - a_{n_2} < 0\)。
  4. 因此，\(a_{n_1} < a_{n_2}\)，即数列\(\{a_n\}\)是递增数列。

答案：数列\(\{a_n\}\)是递增数列。

总结

通过对2019全国一卷文科数学试卷的详细解析，我们不仅了解了试题的解题思路，还掌握了相应的解题技巧。希望这些解析能够帮助考生在未来的学习中取得更好的成绩。