揭秘2019数学高考全国卷：难题解析与备考策略全解析

引言

2019年的数学高考全国卷以其独特的题型和较高的难度，成为了考生们关注的焦点。本文将深入解析2019年数学高考全国卷中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。

一、2019年数学高考全国卷概述

2019年数学高考全国卷分为文科和理科两个版本，涵盖了从基础知识到高难度的各种题型。本文将重点解析理科全国卷中的难题。

二、难题解析

1. 难题一：解析几何问题

题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a>b>0\)），直线 \(y=kx+m\) 与椭圆相交于两点 \(A\)，\(B\)。若 \(\triangle OAB\) 的面积为定值，求实数 \(k\) 的取值范围。

解析：

首先联立直线和椭圆的方程，消去 \(y\)，得到关于 \(x\) 的一元二次方程。
根据韦达定理，求出 \(x_1 + x_2\) 和 \(x_1 \cdot x_2\)。
利用面积公式 \(S = \frac{1}{2} |x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1|\)，结合定值条件，建立关于 \(k\) 的方程。
解方程得到 \(k\) 的取值范围。

代码示例：

from sympy import symbols, Eq, solve

x, k, m, a, b = symbols('x k m a b')
ellipse_eq = Eq(x**2 / a**2 + (k*x + m)**2 / b**2, 1)
x_solutions = solve(ellipse_eq, x)
# ...

2. 难题二：概率问题

题目描述：设 \(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\) 是三个事件，且 \(P(A_1) = 0.3\)，\(P(A_2) = 0.4\)，\(P(A_3) = 0.5\)，\(P(A_1 \cap A_2) = 0.1\)，\(P(A_2 \cap A_3) = 0.2\)，\(P(A_1 \cap A_3) = 0.15\)。求 \(P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)\)。

解析：

利用概率的加法公式 \(P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_2 \cap A_3) - P(A_1 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)\)。
由于题目中未给出 \(P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)\)，故无法直接计算。

代码示例：

from sympy import Rational

P_A1, P_A2, P_A3, P_A1_A2, P_A2_A3, P_A1_A3 = symbols('P_A1 P_A2 P_A3 P_A1_A2 P_A2_A3 P_A1_A3')
P_A1, P_A2, P_A3, P_A1_A2, P_A2_A3, P_A1_A3 = Rational(P_A1), Rational(P_A2), Rational(P_A3), Rational(P_A1_A2), Rational(P_A2_A3), Rational(P_A1_A3)
P_A1_union_A2_union_A3 = P_A1 + P_A2 + P_A3 - P_A1_A2 - P_A2_A3 - P_A1_A3
# ...

三、备考策略

1. 理解基础知识

考生应确保对基础知识有扎实的掌握，包括函数、几何、概率等。

2. 练习解题技巧

考生应通过大量练习提高解题技巧，尤其是在处理难题时，要学会分析问题、分解问题、逐步解决。

3. 做好时间管理

在考试中，考生需要合理安排时间，确保在规定时间内完成所有题目。

4. 保持良好的心态

考生在备考和考试过程中要保持良好的心态，避免过度紧张和焦虑。