引言

高考作为我国教育体系中的重要环节，其数学科目一直是考生和家长关注的焦点。2021年高考数学试卷在保持了传统难度的基础上，也出现了一些新颖的题型，给考生带来了不小的挑战。本文将揭秘2021年高考数学答案，并针对其中的难题进行解析，旨在帮助考生更好地理解和掌握解题技巧。

一、试卷结构分析

2021年高考数学试卷分为必考部分和选考部分，其中必考部分包括选择题、填空题和解答题，选考部分则分为文科和理科两个方向。以下是试卷各部分的题目数量和分值分布：

部分 题目数量 分值
选择题 15题 75分
填空题 5题 50分
解答题 6题 75分
选考部分 3题 50分

二、难题解析

1. 选择题难题解析

（1）题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)，求\(f'(x)\)。

解题步骤：

  1. 对\(f(x)\)求导，得到\(f'(x)=3x^2-6x+2\)。
  2. 化简\(f'(x)\)，得到\(f'(x)=3(x^2-2x+\frac{2}{3})\)。
  3. 求解\(f'(x)=0\)，得到\(x=1\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\)。

答案：\(f'(x)=3(x^2-2x+\frac{2}{3})\)，\(x=1\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\)。

2. 填空题难题解析

（1）题目：设\(a>0\)，\(b>0\)，且\(a+b=1\)，则\(\sqrt{a^2+b^2}\)的最大值为多少？

解题步骤：

  1. 根据柯西不等式，有\((a^2+b^2)(1^2+1^2)\geq(a+b)^2\)。
  2. 化简不等式，得到\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)。
  3. 由题意可知，\(\sqrt{a^2+b^2}\)的最大值为\(\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。

答案：\(\sqrt{a^2+b^2}\)的最大值为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。

3. 解答题难题解析

（1）题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)，求\(f(x)\)的单调区间。

解题步骤：

  1. 求导得到\(f'(x)=3x^2-6x+2\)。
  2. 求解\(f'(x)=0\)，得到\(x=1\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\)。
  3. 分析\(f'(x)\)的符号，当\(x<1-\sqrt{\frac{2}{3}}\)时，\(f'(x)>0\)；当\(1-\sqrt{\frac{2}{3}}<x<1+\sqrt{\frac{2}{3}}\)时，\(f'(x)<0\)；当\(x>1+\sqrt{\frac{2}{3}}\)时，\(f'(x)>0\)。
  4. 得出\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,1-\sqrt{\frac{2}{3}})\)和\((1+\sqrt{\frac{2}{3}},+\infty)\)，单调递减区间为\((1-\sqrt{\frac{2}{3}},1+\sqrt{\frac{2}{3}})\)。

答案：\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,1-\sqrt{\frac{2}{3}})\)和\((1+\sqrt{\frac{2}{3}},+\infty)\)，单调递减区间为\((1-\sqrt{\frac{2}{3}},1+\sqrt{\frac{2}{3}})\)。

三、总结

2021年高考数学试卷在保持传统难度的基础上，也出现了一些新颖的题型。通过对试卷中难题的解析，希望考生能够更好地理解和掌握解题技巧，为未来的学习打下坚实的基础。祝广大考生在高考中取得优异成绩！