一、概述

南昌二模2017作为一次重要的模拟考试，其数学部分包含了多道具有挑战性的题目。本文将针对这些难题进行解析，并提供相应的解题技巧，帮助考生在今后的学习中提升解题能力。

二、难题解析

1. 题目一：函数问题

题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求\(f(x)\)的极值。

解题步骤：

  1. 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。
  2. 求导数的零点：\(3x^2 - 6x + 4 = 0\)，解得\(x_1 = \frac{2}{3}\)，\(x_2 = 2\)。
  3. 分别求\(x_1\)和\(x_2\)处的函数值：\(f(\frac{2}{3}) = \frac{19}{27}\)，\(f(2) = 3\)。
  4. 判断极值：当\(x < \frac{2}{3}\)时，\(f'(x) > 0\)；当\(\frac{2}{3} < x < 2\)时，\(f'(x) < 0\)；当\(x > 2\)时，\(f'(x) > 0\)。因此，\(x = \frac{2}{3}\)为极大值点，\(x = 2\)为极小值点。

2. 题目二：几何问题

题目描述：在平面直角坐标系中，已知点\(A(2, 3)\)，\(B(-1, 0)\)，\(C(0, 2)\)，求三角形\(ABC\)的面积。

解题步骤：

  1. 计算向量\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)的坐标：\(\overrightarrow{AB} = (-3, -3)\)，\(\overrightarrow{AC} = (-2, -1)\)。
  2. 求向量\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)的叉积：\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 9\)。
  3. 计算三角形\(ABC\)的面积：\(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \times 9 = \frac{9}{2}\)。

3. 题目三：数列问题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n + 3^n\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解题步骤：

  1. 将数列\(\{a_n\}\)的通项公式代入：\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n}\)。
  2. 利用极限的性质：\(\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n}{2^n + 3^n}\)。
  3. 化简极限表达式：\(\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n}{2^n + 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2^n}{2^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 3^n}{3^n} = 2 + 3 = 5\)。

三、解题技巧

  1. 熟练掌握各种数学公式和定理。
  2. 学会分析题目的条件和要求，找出解题的关键。
  3. 培养良好的逻辑思维能力，善于运用数学方法解决问题。
  4. 注重练习，积累解题经验，提高解题速度。

四、总结

南昌二模2017的数学难题具有一定的难度，但只要掌握正确的解题方法和技巧，就能顺利解决。希望本文的解析和解题技巧能够对考生有所帮助。