引言
南昌一模数学试卷中，总有一些题目能够引起广大师生的高度关注。这些题目往往以独特的解题思路和较高的难度著称，不仅考验了学生的数学基础，更挑战了他们的思维极限。本文将深入剖析一道南昌一模的数学难题，帮助读者解锁解题奥秘。
难题呈现
以下是一道南昌一模的数学题目：
题目：已知函数\(f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-2x-3}\)，求函数\(f(x)\)的值域。
解题思路
步骤一：化简函数
首先，我们对函数\(f(x)\)进行化简：
\[ f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-2x-3}=\frac{(x-2)^2}{(x-3)(x+1)} \]
步骤二：分析分母
接下来，我们分析分母\((x-3)(x+1)\)。由于分母中包含\(x-3\)和\(x+1\)两个因子，我们需要考虑这两个因子为零的情况，即\(x=3\)和\(x=-1\)。在这两个点上，函数\(f(x)\)无定义。
步骤三：研究函数的极限
为了更好地理解函数的行为，我们需要研究函数在\(x=3\)和\(x=-1\)附近的极限。根据极限的定义，我们有：
\[ \lim_{x\to3}f(x)=\lim_{x\to3}\frac{(x-2)^2}{(x-3)(x+1)}=\infty \]
\[ \lim_{x\to-1}f(x)=\lim_{x\to-1}\frac{(x-2)^2}{(x-3)(x+1)}=-\infty \]
这表明，当\(x\)趋近于3时，函数\(f(x)\)的值趋近于无穷大；当\(x\)趋近于-1时，函数\(f(x)\)的值趋近于负无穷大。
步骤四：分析函数的单调性
为了确定函数\(f(x)\)的值域，我们需要分析函数的单调性。为此，我们求出函数的导数：
\[ f'(x)=\frac{(x-2)^2'(x^2-2x-3)-(x-2)^2(x^2-2x-3)'}{(x^2-2x-3)^2} \]
化简后得到：
\[ f'(x)=\frac{2(x-2)(x^2-2x-3)-(x-2)^2(2x-2)}{(x^2-2x-3)^2} \]
进一步化简，我们得到：
\[ f'(x)=\frac{2(x-2)(x^2-2x-3)-2(x-2)^2x}{(x^2-2x-3)^2} \]
\[ f'(x)=\frac{2(x-2)(x^2-2x-3-2x(x-2))}{(x^2-2x-3)^2} \]
\[ f'(x)=\frac{2(x-2)(x^2-2x-3-2x^2+4x)}{(x^2-2x-3)^2} \]
\[ f'(x)=\frac{2(x-2)(-x^2+2x-3)}{(x^2-2x-3)^2} \]
\[ f'(x)=\frac{2(x-2)(3-x)(x+1)}{(x^2-2x-3)^2} \]
步骤五：确定函数的单调区间
通过分析导数的符号，我们可以确定函数的单调区间。具体来说，我们需要找出导数为正和导数为负的区间。
情况一：\(x<3\)
此时，\(3-x>0\)，\(x+1>0\)，\(x-2<0\)。因此，导数\(f'(x)<0\)，函数\(f(x)\)在区间\((-\infty,2)\)上单调递减。
情况二：\(23\)
此时，\(3-x<0\)，\(x+1>0\)，\(x-2>0\)。因此，导数\(f'(x)>0\)，函数\(f(x)\)在区间\((3,+\infty)\)上单调递增。
步骤六：确定函数的极值
由于函数\(f(x)\)在区间\((-\infty,2)\)上单调递减，在区间\((2,3)\)上单调递增，在区间\((3,+\infty)\)上单调递增，我们可以得出以下结论：
- 函数\(f(x)\)在\(x=2\)处取得局部最小值\(f(2)=0\)；
- 函数\(f(x)\)在\(x=3\)处取得局部最大值\(f(3)=\infty\)；
- 函数\(f(x)\)在\(x=-1\)处取得局部最小值\(f(-1)=-\infty\)。
步骤七：确定函数的值域
综合以上分析，我们可以得出函数\(f(x)\)的值域为\((-\infty,0)\cup(0,\infty)\)。
总结
通过以上步骤，我们成功地解决了南昌一模的这道数学难题。这道题目不仅考察了学生的数学基础知识，还考验了他们的思维能力和解题技巧。希望本文的分析能够帮助读者更好地理解和掌握这类题目的解题方法。