一、背景介绍

南宁一模理科数学试卷作为一次重要的模拟考试，其难度和深度往往能反映出高考数学的命题趋势。本文将针对南宁一模理科数学试卷中的几道难题进行详细解析，并提供相应的答案。

二、难题解析

难题一：解析几何问题

题目描述

已知椭圆 (\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1)，点 (P(a, b)) 在椭圆上，且 (a^2 + b^2 = 5)。求直线 (y = kx + m) 与椭圆相切的条件。

解题步骤

  1. 将点 (P) 代入椭圆方程：(\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{3} = 1)。
  2. 根据 (a^2 + b^2 = 5)，解出 (a) 和 (b) 的表达式。
  3. 代入直线方程，求解 (k) 和 (m) 的值，使得直线与椭圆相切。

代码示例

from sympy import symbols, Eq, solve

a, b, k, m = symbols('a b k m')

# 椭圆方程
ellipse_eq = Eq(a**2 / 4 + b**2 / 3, 1)

# 点P满足的方程
point_eq = Eq(a**2 + b**2, 5)

# 解出a和b的表达式
ab_expr = solve((ellipse_eq, point_eq), (a, b))

# 直线方程
line_eq = Eq(b, k * a + m)

# 解出k和m的条件
tangent_condition = solve((line_eq.subs(a, ab_expr[0][0]), line_eq.subs(b, ab_expr[0][1])), (k, m))

答案

直线 (y = kx + m) 与椭圆相切的条件为 (k = \frac{3}{4}, m = \frac{5}{8})。

难题二：函数与导数问题

题目描述

函数 (f(x) = x^3 - 3x^2 + 4) 的图像在 (x = 1) 处有一个极值点。求 (f(x)) 在 (x = 1) 处的极值。

解题步骤

  1. 求出函数的导数：(f’(x) = 3x^2 - 6x)。
  2. 求出导数为0的点：(3x^2 - 6x = 0)。
  3. 判断极值类型：计算二阶导数 (f”(x)) 在 (x = 1) 处的值。

代码示例

from sympy import symbols, diff

x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2 + 4

# 求导数
f_prime = diff(f, x)

# 求导数为0的点
critical_points = solve(f_prime, x)

# 判断极值类型
f_double_prime = diff(f_prime, x)
extrema_type = f_double_prime.subs(x, critical_points[0])

答案

函数 (f(x) = x^3 - 3x^2 + 4) 在 (x = 1) 处的极值为 (f(1) = 2)。

三、总结

通过对南宁一模理科数学试卷中几道难题的解析，我们能够更好地理解高考数学的命题趋势和解题方法。这些难题的解析过程不仅考察了学生的数学基础，还要求学生具备较高的逻辑思维能力和创造性思维。