引言

南通2014三模数学试卷中的难题一直以来都是中学数学竞赛领域关注的焦点。本文将深入剖析该题目的解题思路，并探讨中学数学竞赛的高分策略。

题目回顾

南通2014三模数学试卷的一道难题如下：

设函数\(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3bx - c\)，其中\(a, b, c\)是常数。若\(f(1) = 0\)，\(f(2) = 0\)，且\(f(x)\)的导函数\(f'(x)\)的图像关于直线\(x = 1\)对称，求\(f(x)\)的解析式。

解题思路

  1. 利用条件求值：首先，根据\(f(1) = 0\)和\(f(2) = 0\)，可以列出两个方程，解得\(a, b, c\)的值。
  2. 分析对称性：由\(f'(x)\)的图像关于直线\(x = 1\)对称，可知\(f'(x)\)在\(x = 1\)处取得极值。通过求导，得到\(f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3b\)，然后分析其极值点。
  3. 求解导函数：由于\(f'(x)\)的极值点为\(x = 1\)，则可得到\(f'(1) = 0\)，进一步求出\(a, b\)的值。
  4. 求解析式：最后，将求得的\(a, b, c\)代入\(f(x)\)的表达式中，得到\(f(x)\)的解析式。

详细解题步骤

步骤一：利用条件求值

由\(f(1) = 0\)得\(1^3 - 3a \cdot 1^2 + 3b \cdot 1 - c = 0\)，即\(1 - 3a + 3b - c = 0\)。

由\(f(2) = 0\)得\(2^3 - 3a \cdot 2^2 + 3b \cdot 2 - c = 0\)，即\(8 - 12a + 6b - c = 0\)。

将上述两个方程联立，解得\(a = 2, b = 1, c = 3\)。

步骤二：分析对称性

由\(f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3b\)，对\(f'(x)\)求导得\(f''(x) = 6x - 6a\)。

由于\(f'(x)\)的图像关于直线\(x = 1\)对称，故\(f''(1) = 0\)，即\(6 - 6a = 0\)，解得\(a = 1\)。

步骤三：求解导函数

由\(f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3b\)，代入\(a = 1\)得\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 3b\)。

步骤四：求解析式

代入\(a = 1, b = 1, c = 3\)，得到\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 3\)。

中学数学竞赛高分策略

  1. 基础扎实：熟练掌握中学数学的基本概念、定理和公式，这是解决复杂问题的前提。
  2. 培养逻辑思维：在解题过程中，要学会分析问题、归纳总结，提高逻辑思维能力。
  3. 注重解题技巧：学习并掌握各种解题技巧，如换元法、待定系数法等。
  4. 加强练习：多做题、多思考，提高解题速度和准确率。

总结

本文通过分析南通2014三模数学难题，揭示了中学数学竞赛的高分策略。希望对广大数学爱好者有所帮助。