引言
去年河北单招数学考试中，出现了一些颇具挑战性的题目，这些题目不仅考察了学生的基础知识，还考验了他们的解题思路和技巧。本文将针对其中一道难题进行详细解析，帮助同学们掌握解题思路和技巧。
难题回顾
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 1\)。
解题思路
要证明\(f(x)\geq 1\)，我们可以考虑以下思路：
- 因式分解：首先尝试对\(f(x)\)进行因式分解，看是否能够找到一些有用的信息。
- 构造不等式：如果因式分解不成功，我们可以尝试构造不等式，利用不等式的性质来证明。
- 换元法：在无法直接证明的情况下，可以考虑换元法，将\(x\)用其他变量表示，从而简化问题。
解题步骤
步骤一：因式分解
我们尝试对\(f(x)\)进行因式分解，得到： $\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 = (x-1)^3 + 2\)$
步骤二：构造不等式
由于\((x-1)^3\)是一个立方项，它的值总是非负的。因此，我们有： $\((x-1)^3 \geq 0\)\( 所以： \)\(f(x) = (x-1)^3 + 2 \geq 2\)\( 这说明\)f(x)\(的最小值为2，而不是1。但是，我们需要证明的是\)f(x)\geq 1$，因此我们需要进一步分析。
步骤三：换元法
为了简化问题，我们令\(t = x - 1\)，则\(x = t + 1\)。将\(x\)用\(t\)表示后，我们有： $\(f(x) = (t+1)^3 - 3(t+1)^2 + 4(t+1) + 1\)\( 展开并整理得到： \)\(f(x) = t^3 + 3t^2 + 3t + 1 - 3t^2 - 6t - 3 + 4t + 1 + 1\)\( \)\(f(x) = t^3 + t\)\( 现在我们需要证明对于任意实数\)t\(，都有\)t^3 + t \geq 1$。
步骤四：证明不等式
我们可以通过以下方法证明不等式\(t^3 + t \geq 1\)：
分析法：观察函数\(g(t) = t^3 + t\)，我们发现当\(t = 0\)时，\(g(t) = 0\)。对于\(t \neq 0\)的情况，我们可以考虑函数的导数\(g'(t) = 3t^2 + 1\)，它总是正的，这意味着\(g(t)\)是一个严格单调递增的函数。因此，对于任意\(t > 0\)，\(g(t) > g(0) = 0\)；对于任意\(t < 0\)，\(g(t) > g(0) = 0\)。所以，\(g(t) \geq 0\)对于所有\(t\)都成立，从而\(t^3 + t \geq 0\)。
综合法：我们可以将不等式\(t^3 + t \geq 1\)重写为\(t^3 - 1 \geq -t\)。注意到\(t^3 - 1\)可以分解为\((t-1)(t^2 + t + 1)\)，而\(t^2 + t + 1\)是一个正数，因为它的判别式\(\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\)是负的。因此，\(t^3 - 1\)的符号取决于\(t-1\)的符号。当\(t \geq 1\)时，\(t^3 - 1 \geq 0\)；当\(t < 1\)时，\(t^3 - 1 < 0\)。但是，由于\(-t\)在\(t < 1\)时是正的，我们可以得出\(t^3 + t \geq 1\)对于所有\(t\)都成立。
结论
通过以上步骤，我们证明了对于任意实数\(x\)，都有\(f(x) = (x-1)^3 + 2 \geq 2\)，进而得到\(f(x) \geq 1\)。这道题目考察了学生的因式分解、构造不等式和换元法等解题技巧，同时也提醒我们在解题时要善于观察和思考，灵活运用不同的方法。