引言
2013年东城区数学一模试卷中的难题一直是考生和教师关注的焦点。本文将深入剖析这些难题，提供解题思路，并分享一些高分策略，帮助考生在未来的数学学习中取得更好的成绩。
难题解析
题目一：函数问题
题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求\(f(x)\)的极值。
解题步骤：
- 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。
- 求导数的零点：\(3x^2 - 6x + 4 = 0\)，解得\(x = 1\)或\(x = \frac{2}{3}\)。
- 判断极值：在\(x = 1\)和\(x = \frac{2}{3}\)处，\(f(x)\)分别取得极大值和极小值。
- 计算极值：\(f(1) = 3\)，\(f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{27}\)。
高分策略：
- 熟练掌握求导数的方法。
- 能够根据导数的符号判断函数的增减性。
- 注意极值点的计算。
题目二：几何问题
题目描述：在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(4, 5)，求直线AB的方程。
解题步骤：
- 计算斜率：\(k = \frac{5 - 3}{4 - 2} = 1\)。
- 使用点斜式方程：\(y - 3 = 1(x - 2)\)。
- 化简方程：\(y = x + 1\)。
高分策略：
- 熟练掌握直线的方程表示方法。
- 能够根据两点坐标计算斜率。
- 注意方程的化简。
题目三：数列问题
题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 - 2\)，求\(a_{2013}\)。
解题步骤：
- 计算前几项：\(a_2 = 1^2 - 2 = -1\)，\(a_3 = (-1)^2 - 2 = -1\)，以此类推。
- 观察数列的规律：\(\{a_n\}\)是一个常数列，\(a_n = -1\)。
- 计算\(a_{2013}\)：\(a_{2013} = -1\)。
高分策略：
- 熟练掌握数列的定义和性质。
- 能够根据递推公式计算数列的项。
- 注意数列的规律和通项公式的求解。
总结
通过以上对2013年东城区数学一模难题的解析，我们可以看到，解决这类问题需要扎实的数学基础和灵活的解题思路。考生在备考过程中，应注重基础知识的积累，同时加强解题技巧的训练，以提高解题速度和准确率。