引言
高考数学作为衡量学生数学能力的重要标准，每年都会出现一些具有挑战性的难题。2015年浙江数学理考题中，就有许多让人印象深刻的问题。本文将针对这些难题，分析解题技巧，帮助考生在高考中更好地应对类似问题。
一、2015年浙江数学理考题回顾
1. 题目一：函数与导数
题目描述：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程。
2. 题目二：数列与不等式
题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1\)，求\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。
3. 题目三：立体几何与空间向量
题目描述：在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(E\)是\(BC\)的中点，\(F\)是\(A_1B_1\)的中点，求\(\overrightarrow{EF}\)的模长。
二、解题技巧分析
1. 函数与导数
解题思路：首先求出\(f(x)\)在\(x=1\)处的导数，然后根据导数的几何意义，求出切线斜率。最后，利用点斜式求出切线方程。
代码示例：
def f(x):
return x**3 - 3*x**2 + 4*x + 1
def derivative(f, x):
return f(x + 0.0001) - f(x) / 0.0001
x = 1
f_prime = derivative(f, x)
y = f(x) + f_prime * (1 - x)
print(f"切线方程为：y = {y}x + ({1 - x}y - f(x))")
2. 数列与不等式
解题思路：观察数列\(\{a_n\}\)的递推关系，发现\(a_{n+1}=(a_n-1)^2\)。因此，可以通过证明\(a_n>1\)，进而得到\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。
代码示例：
def a_n(n):
a = 1
for i in range(1, n):
a = (a - 1)**2
return a
n = 1
while a_n(n) <= 1:
n += 1
print(f"当n={n}时，a_n>1，因此$\lim_{n\to\infty}a_n$存在。")
3. 立体几何与空间向量
解题思路：利用向量的线性运算和几何性质，求出\(\overrightarrow{EF}\)的模长。
代码示例：
import math
# 向量模长公式
def vector_length(v):
return math.sqrt(v[0]**2 + v[1]**2 + v[2]**2)
# 向量坐标
A = (0, 0, 0)
B = (2, 0, 0)
C = (2, 2, 0)
D = (0, 2, 0)
A1 = (0, 0, 2)
B1 = (2, 0, 2)
C1 = (2, 2, 2)
D1 = (0, 2, 2)
E = (2, 1, 0)
F = (1, 0, 2)
# 向量EF坐标
EF = (F[0] - E[0], F[1] - E[1], F[2] - E[2])
# 向量EF模长
EF_length = vector_length(EF)
print(f"向量EF的模长为：{EF_length}")
三、总结
通过以上对2015年浙江数学理考题的破解和解题技巧分析，我们了解到，面对高考数学难题，关键在于掌握正确的解题思路和方法。在备考过程中，考生应多加练习，积累经验，提高自己的解题能力。