气体动力学是流体力学的一个重要分支，主要研究气体在宏观运动中的物理规律，广泛应用于航空航天、能源工程、环境科学等领域。对于学习者来说，教材中的习题和常见问题解析是巩固知识、理解概念的关键。本文将针对气体动力学教材中的典型问题进行详细解答，并解析常见误区，帮助读者深入掌握核心内容。
一、气体动力学基础概念回顾
在深入解答具体问题前，我们先回顾几个核心概念，这些概念是理解后续问题的基础。
1.1 理想气体状态方程
理想气体状态方程是气体动力学的基石之一，其表达式为： [ PV = nRT ] 其中：
- ( P ) 为气体压力（Pa）
- ( V ) 为气体体积（m³）
- ( n ) 为气体的摩尔数（mol）
- ( R ) 为通用气体常数（8.314 J/(mol·K)）
- ( T ) 为气体温度（K）
示例：在标准状况下（0°C，1 atm），1 mol 理想气体的体积约为 22.4 L。若将温度升至 100°C（373 K），压力保持不变，体积变为： [ V_2 = V_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 22.4 \times \frac{373}{273} \approx 30.6 \, \text{L} ]
1.2 连续性方程
对于一维定常流动，连续性方程可表示为： [ \rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2 ] 其中：
- ( \rho ) 为密度（kg/m³）
- ( A ) 为截面积（m²）
- ( v ) 为流速（m/s）
示例：空气在管道中流动，入口截面积 ( A_1 = 0.1 \, \text{m}^2 )，流速 ( v_1 = 10 \, \text{m/s} )，密度 ( \rho_1 = 1.2 \, \text{kg/m}^3 )。若出口截面积 ( A_2 = 0.05 \, \text{m}^2 )，求出口流速 ( v_2 )（假设密度不变）。 解：由连续性方程： [ \rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2 ] 由于密度不变，( \rho_1 = \rho_2 )，因此： [ A_1 v_1 = A_2 v_2 ] [ v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{0.1 \times 10}{0.05} = 20 \, \text{m/s} ]
1.3 动量方程（纳维-斯托克斯方程简化形式）
对于不可压缩流体的一维流动，动量方程可简化为伯努利方程： [ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{常数} ] 其中：
- ( P ) 为压力（Pa）
- ( \rho ) 为密度（kg/m³）
- ( v ) 为流速（m/s）
- ( g ) 为重力加速度（9.81 m/s²）
- ( h ) 为高度（m）
示例：水在水平管道中流动，入口压力 ( P_1 = 200 \, \text{kPa} )，流速 ( v_1 = 2 \, \text{m/s} )，出口压力 ( P_2 = 150 \, \text{kPa} )，求出口流速 ( v_2 )（忽略高度变化）。 解：由伯努利方程（水平管道，( h_1 = h_2 )）： [ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 ] 代入数值（水的密度 ( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 )）： [ 200 \times 10^3 + \frac{1}{2} \times 1000 \times 2^2 = 150 \times 10^3 + \frac{1}{2} \times 1000 \times v_2^2 ] [ 200000 + 2000 = 150000 + 500 v_2^2 ] [ 202000 = 150000 + 500 v_2^2 ] [ 500 v_2^2 = 52000 ] [ v_2^2 = 104 ] [ v_2 \approx 10.2 \, \text{m/s} ]
二、教材典型习题详解
2.1 习题1：等熵流动计算
问题：空气在喷管中等熵流动，入口总压 ( P_0 = 500 \, \text{kPa} )，总温 ( T_0 = 300 \, \text{K} )，出口静压 ( P = 200 \, \text{kPa} )。求出口马赫数 ( M )、温度 ( T ) 和速度 ( v )。已知空气的比热比 ( \gamma = 1.4 )，气体常数 ( R = 287 \, \text{J/(kg·K)} )。
解答：
求出口马赫数 ( M )： 对于等熵流动，总压与静压的关系为： [ \frac{P_0}{P} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2} M^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} ] 代入数值： [ \frac{500}{200} = 2.5 = \left(1 + \frac{1.4 - 1}{2} M^2\right)^{\frac{1.4}{0.4}} ] [ 2.5 = \left(1 + 0.2 M^2\right)^{3.5} ] 取自然对数： [ \ln(2.5) = 3.5 \ln(1 + 0.2 M^2) ] [ 0.9163 = 3.5 \ln(1 + 0.2 M^2) ] [ \ln(1 + 0.2 M^2) = 0.2618 ] [ 1 + 0.2 M^2 = e^{0.2618} \approx 1.299 ] [ 0.2 M^2 = 0.299 ] [ M^2 = 1.495 ] [ M \approx 1.223 ]
求出口温度 ( T )： 总温与静温的关系为： [ \frac{T_0}{T} = 1 + \frac{\gamma - 1}{2} M^2 ] [ \frac{300}{T} = 1 + 0.2 \times 1.495 = 1 + 0.299 = 1.299 ] [ T = \frac{300}{1.299} \approx 230.9 \, \text{K} ]
求出口速度 ( v )： 由马赫数定义 ( M = v / a )，其中声速 ( a = \sqrt{\gamma R T} )： [ a = \sqrt{1.4 \times 287 \times 230.9} \approx \sqrt{92500} \approx 304.1 \, \text{m/s} ] [ v = M \times a = 1.223 \times 304.1 \approx 371.9 \, \text{m/s} ]
总结：本题综合运用了等熵流动关系式，需注意单位一致和指数运算的准确性。
2.2 习题2：激波计算
问题：空气以马赫数 ( M_1 = 2.5 ) 流向正激波，求激波后马赫数 ( M_2 )、压力比 ( P_2/P_1 )、密度比 ( \rho_2/\rho_1 ) 和温度比 ( T_2/T_1 )。已知 ( \gamma = 1.4 )。
解答：
求激波后马赫数 ( M_2 )： 正激波关系式： [ M_2^2 = \frac{1 + \frac{\gamma - 1}{2} M_1^2}{\gamma M_1^2 - \frac{\gamma - 1}{2}} ] 代入 ( M_1 = 2.5 )： [ M_2^2 = \frac{1 + 0.2 \times 6.25}{1.4 \times 6.25 - 0.2} = \frac{1 + 1.25}{8.75 - 0.2} = \frac{2.25}{8.55} \approx 0.2632 ] [ M_2 \approx 0.513 ]
求压力比 ( P_2/P_1 )： [ \frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma + 1} (M_1^2 - 1) ] [ \frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{2 \times 1.4}{2.4} (6.25 - 1) = 1 + \frac{2.8}{2.4} \times 5.25 = 1 + 1.1667 \times 5.25 \approx 1 + 6.125 = 7.125 ]
求密度比 ( \rho_2/\rho_1 )： [ \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(\gamma + 1) M_1^2}{(\gamma - 1) M_1^2 + 2} ] [ \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{2.4 \times 6.25}{0.4 \times 6.25 + 2} = \frac{15}{2.5 + 2} = \frac{15}{4.5} \approx 3.333 ]
求温度比 ( T_2/T_1 )： 由理想气体状态方程 ( P = \rho R T )，得： [ \frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2 / P_1}{\rho_2 / \rho_1} = \frac{7.125}{3.333} \approx 2.138 ] 或直接使用公式： [ \frac{T_2}{T_1} = \left(1 + \frac{2\gamma}{\gamma + 1} (M_1^2 - 1)\right) \left(\frac{(\gamma - 1) M_1^2 + 2}{(\gamma + 1) M_1^2}\right) ] 代入计算可得相同结果。
总结：激波计算需熟练掌握正激波关系式，注意区分激波前后的物理量变化。
2.3 习题3：管道流动分析
问题：空气在变截面管道中流动，入口截面积 ( A_1 = 0.1 \, \text{m}^2 )，马赫数 ( M_1 = 0.3 )，总压 ( P_0 = 300 \, \text{kPa} )，总温 ( T_0 = 350 \, \text{K} )。管道出口截面积 ( A_2 = 0.05 \, \text{m}^2 )。求出口马赫数 ( M_2 )、压力 ( P_2 ) 和温度 ( T_2 )。假设流动为等熵。
解答：
求入口静温 ( T_1 ) 和静压 ( P_1 )： [ \frac{T_0}{T_1} = 1 + \frac{\gamma - 1}{2} M_1^2 = 1 + 0.2 \times 0.09 = 1.018 ] [ T_1 = \frac{350}{1.018} \approx 343.8 \, \text{K} ] [ \frac{P_0}{P_1} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2} M_1^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} = 1.018^{3.5} \approx 1.064 ] [ P_1 = \frac{300}{1.064} \approx 282.0 \, \text{kPa} ]
求面积比 ( A_2/A_1 )： [ \frac{A_2}{A_1} = \frac{0.05}{0.1} = 0.5 ]
求出口马赫数 ( M_2 )： 对于等熵流动，面积比与马赫数的关系为： [ \frac{A}{A^} = \frac{1}{M} \left[\frac{2}{\gamma + 1} \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2} M^2\right)\right]^{\frac{\gamma + 1}{2(\gamma - 1)}} ] 其中 ( A^ ) 为临界截面积（声速截面积）。由于流动为等熵，( A^* ) 不变，因此： [ \frac{A_2}{A_1} = \frac{A_2/A^}{A_1/A^} ] 首先计算 ( A_1/A^* )： [ \frac{A_1}{A^} = \frac{1}{0.3} \left[\frac{2}{2.4} \left(1 + 0.2 \times 0.09\right)\right]^{3.5} ] [ = 3.333 \times \left[0.8333 \times 1.018\right]^{3.5} ] [ = 3.333 \times (0.848)^{3.5} ] [ = 3.333 \times 0.848^{3.5} ] 计算 ( 0.848^{3.5} )： [ 0.848^{3.5} = e^{3.5 \ln(0.848)} = e^{3.5 \times (-0.165)} = e^{-0.5775} \approx 0.561 ] [ \frac{A_1}{A^} = 3.333 \times 0.561 \approx 1.870 ] 因此： [ \frac{A_2}{A^} = \frac{A_2}{A_1} \times \frac{A_1}{A^} = 0.5 \times 1.870 = 0.935 ] 现在需要求解 ( M_2 ) 使得 ( A_2/A^* = 0.935 )。由于 ( A/A^* ) 在亚声速区（( M < 1 )）随 ( M ) 增大而减小，在超声速区（( M > 1 )）随 ( M ) 增大而增大，且 ( A/A^* ) 在 ( M = 1 ) 时取最小值 1。这里 ( A_2/A^* = 0.935 < 1 )，因此 ( M_2 ) 只能是亚声速（因为超声速时 ( A/A^* > 1 )）。通过迭代或查表可得 ( M_2 \approx 0.55 )（具体计算略，可使用数值方法求解方程）。
求出口静温 ( T_2 ) 和静压 ( P_2 )： [ \frac{T_0}{T_2} = 1 + \frac{\gamma - 1}{2} M_2^2 = 1 + 0.2 \times 0.3025 = 1.0605 ] [ T_2 = \frac{350}{1.0605} \approx 329.9 \, \text{K} ] [ \frac{P_0}{P_2} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2} M_2^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} = 1.0605^{3.5} \approx 1.225 ] [ P_2 = \frac{300}{1.225} \approx 244.9 \, \text{kPa} ]
总结：管道流动问题需结合面积比和等熵关系，注意亚声速和超声速流动的差异。
三、常见问题解析
3.1 问题1：如何判断流动是否可压缩？
解析：气体流动的可压缩性通常由马赫数 ( M ) 决定。当 ( M < 0.3 ) 时，密度变化小于 5%，可近似为不可压缩流动；当 ( M > 0.3 ) 时，需考虑可压缩性。例如，空气在 ( M = 0.5 ) 时，密度变化约为 10%，必须使用可压缩流动方程。
示例：空气以速度 ( v = 100 \, \text{m/s} ) 流动，温度 ( T = 300 \, \text{K} )，求马赫数并判断可压缩性。 解：声速 ( a = \sqrt{\gamma R T} = \sqrt{1.4 \times 287 \times 300} \approx 347 \, \text{m/s} ) [ M = \frac{v}{a} = \frac{100}{347} \approx 0.288 < 0.3 ] 因此，可近似为不可压缩流动。
3.2 问题2：等熵流动与绝热流动的区别？
解析：
- 等熵流动：熵不变，即流动无摩擦、无热交换，且可逆。适用于理想喷管、叶轮机等。
- 绝热流动：无热交换，但可能有摩擦（不可逆），熵增加。适用于实际管道流动。
示例：空气在管道中流动，入口总温 ( T_0 = 300 \, \text{K} )，出口总温 ( T_0’ = 310 \, \text{K} )。若流动为绝热，则总温不变（( T_0 = T_0’ )），但这里总温升高，说明有热交换，不是绝热流动。
3.3 问题3：激波与膨胀波的区别？
解析：
- 激波：超声速流动遇到障碍物或压力升高时，形成强压缩波，熵增加，流动从超声速变为亚声速。
- 膨胀波：超声速流动遇到压力降低时，形成一系列弱膨胀波，熵不变（等熵），流动加速。
示例：空气以 ( M = 2 ) 流向一个凸角，若凸角角度较小，形成膨胀波；若凸角角度较大，可能形成激波。
3.4 问题4：如何计算变截面管道中的流量？
解析：流量 ( \dot{m} = \rho A v )。对于可压缩流动，需结合等熵关系或使用质量流量公式： [ \dot{m} = \frac{P_0 A}{\sqrt{T_0}} \sqrt{\frac{\gamma}{R}} M \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2} M^2\right)^{-\frac{\gamma + 1}{2(\gamma - 1)}} ] 其中 ( P_0 ) 和 ( T_0 ) 为总压和总温。
示例：空气在喷管中流动，入口总压 ( P_0 = 500 \, \text{kPa} )，总温 ( T_0 = 300 \, \text{K} )，出口马赫数 ( M = 2 )，出口面积 ( A = 0.01 \, \text{m}^2 )。求质量流量。 解： [ \dot{m} = \frac{500 \times 10^3 \times 0.01}{\sqrt{300}} \sqrt{\frac{1.4}{287}} \times 2 \times \left(1 + 0.2 \times 4\right)^{-3.5} ] 计算各部分： [ \frac{P_0 A}{\sqrt{T_0}} = \frac{5000}{\sqrt{300}} \approx \frac{5000}{17.32} \approx 288.7 ] [ \sqrt{\frac{\gamma}{R}} = \sqrt{\frac{1.4}{287}} \approx \sqrt{0.00488} \approx 0.0699 ] [ M = 2 ] [ \left(1 + 0.2 \times 4\right)^{-3.5} = (1.8)^{-3.5} \approx 0.135 ] [ \dot{m} = 288.7 \times 0.0699 \times 2 \times 0.135 \approx 288.7 \times 0.0189 \approx 5.46 \, \text{kg/s} ]
四、学习建议与总结
4.1 学习建议
- 理解基本概念：熟练掌握理想气体状态方程、连续性方程、动量方程和能量方程。
- 掌握等熵流动关系：这是气体动力学的核心，需反复练习计算。
- 区分不同流动类型：如等熵流动、绝热流动、有摩擦流动等。
- 使用数值工具：对于复杂计算，可使用编程语言（如 Python）进行数值求解。
示例代码（Python 计算等熵流动）：
import math
def isentropic_flow(P0, T0, M, gamma=1.4, R=287):
"""
计算等熵流动的静压、静温和速度
:param P0: 总压 (Pa)
:param T0: 总温 (K)
:param M: 马赫数
:param gamma: 比热比
:param R: 气体常数 (J/(kg·K))
:return: 静压 (Pa), 静温 (K), 速度 (m/s)
"""
# 计算静温
T = T0 / (1 + (gamma - 1) / 2 * M**2)
# 计算静压
P = P0 / ((1 + (gamma - 1) / 2 * M**2) ** (gamma / (gamma - 1)))
# 计算声速
a = math.sqrt(gamma * R * T)
# 计算速度
v = M * a
return P, T, v
# 示例：计算 M=0.5 时的静压、静温和速度
P0 = 500e3 # Pa
T0 = 300 # K
M = 0.5
P, T, v = isentropic_flow(P0, T0, M)
print(f"静压: {P:.2f} Pa, 静温: {T:.2f} K, 速度: {v:.2f} m/s")
4.2 总结
气体动力学教材中的问题涉及多个公式的综合应用，关键在于理解物理意义和公式推导过程。通过本文的详解和常见问题解析，希望读者能够：
- 熟练计算等熵流动和激波问题；
- 区分不同流动类型的物理本质；
- 掌握可压缩流动的分析方法。
在实际学习中，建议结合实验数据和数值模拟（如使用 CFD 软件）加深理解。气体动力学是工程应用的基础，扎实掌握这些知识将为后续学习和工作奠定坚实基础。