一、选择题
题目1：若函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 在 ( x = 1 ) 处取得最小值，则 ( a ) 的取值范围是：
答案详解：
首先，我们知道一个二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 的开口方向由系数 ( a ) 决定。若 ( a > 0 )，函数图像开口向上，存在最小值；若 ( a < 0 )，函数图像开口向下，存在最大值。
由于题目中提到函数在 ( x = 1 ) 处取得最小值，因此 ( a ) 必须大于0。所以，( a ) 的取值范围是 ( a > 0 )。
二、填空题
题目2：已知 ( \sin \alpha = \frac{1}{2} )，则 ( \cos 2\alpha ) 的值为：
答案详解：
由三角函数的基本关系，我们知道 ( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 )。因此，可以计算出 ( \cos \alpha ) 的值。
[ \sin^2 \alpha = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} ] [ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} ] [ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} ]
由于 ( \alpha ) 的值未给出，我们不能确定 ( \cos \alpha ) 的符号。但根据二倍角公式 ( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 )，我们可以计算出 ( \cos 2\alpha ) 的值。
[ \cos 2\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} ]
因此，( \cos 2\alpha ) 的值为 ( \frac{1}{2} )。
三、解答题
题目3：已知 ( a, b, c ) 是等差数列的三个连续项，且 ( a + b + c = 9 )，( bc + ca + ab = 36 )，求 ( a ) 和 ( b ) 的值。
答案详解：
由等差数列的性质，设公差为 ( d )，则 ( b = a + d )，( c = a + 2d )。
根据题意，我们有：
[ a + (a + d) + (a + 2d) = 9 ] [ 3a + 3d = 9 ] [ a + d = 3 \quad \text{(1)} ]
另外，我们有：
[ (a + d)(a + 2d) + (a + 2d)(a + d) + (a + d)(a) = 36 ] [ 3a^2 + 6ad + 3d^2 = 36 ] [ a^2 + 2ad + d^2 = 12 \quad \text{(2)} ]
将 ( a + d = 3 ) 代入 (2) 式：
[ a^2 + 2 \times 3a + d^2 = 12 ] [ a^2 + 6a + d^2 = 12 ]
由 (1) 式得 ( d^2 = (a + 3 - a)^2 = 3^2 = 9 )，代入上式：
[ a^2 + 6a + 9 = 12 ] [ a^2 + 6a - 3 = 0 ]
解这个一元二次方程，我们得到 ( a ) 的值。这里使用求根公式：
[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 1 \times (-3)}}{2 \times 1} ] [ a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2} ] [ a = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} ] [ a = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{2} ] [ a = -3 \pm 2\sqrt{3} ]
因此，( a ) 的值为 ( -3 + 2\sqrt{3} ) 或 ( -3 - 2\sqrt{3} )。由等差数列的性质，( b ) 的值为 ( 3 )。
题目4：已知函数 ( f(x) = \ln(x - 1) + \frac{1}{x - 1} )，求 ( f(x) ) 的导数。
答案详解：
首先，我们需要使用链式法则和商法则来求导。
对于 ( \ln(x - 1) ) 的导数，我们有：
[ \frac{d}{dx}[\ln(x - 1)] = \frac{1}{x - 1} ]
对于 ( \frac{1}{x - 1} ) 的导数，我们可以将其看作 ( (x - 1)^{-1} ) 的导数：
[ \frac{d}{dx}[(x - 1)^{-1}] = -1 \cdot (x - 1)^{-2} = -\frac{1}{(x - 1)^2} ]
因此，( f(x) ) 的导数为：
[ f’(x) = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{(x - 1)^2} ]
为了合并这两个项，我们需要找到一个共同的分母：
[ f’(x) = \frac{(x - 1) - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x - 2}{(x - 1)^2} ]
所以，( f(x) ) 的导数是 ( \frac{x - 2}{(x - 1)^2} )。
以上是2017年全国二卷数学试卷的选择题、填空题和解答题的详细解答过程。希望这些解答能够帮助你更好地理解数学知识。