一、选择题详解
1. 答案：
A
解析：
本题考查了三角函数的性质。根据题目条件，我们可以列出方程： [ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) ] 由于 (\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)) 的取值范围是 ([-1, 1])，因此 (\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)) 的取值范围是 ([- \sqrt{2}, \sqrt{2}])。根据题目条件，(\sin x + \cos x = \sqrt{2}) 的取值范围是 ([- \sqrt{2}, \sqrt{2}])，所以答案为 A。
二、填空题详解
1. 答案：
(x = 2)
解析：
本题考查了一元二次方程的解法。根据题目条件，我们可以列出方程： [ x^2 - 4x + 3 = 0 ] 使用求根公式： [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] 代入 (a = 1), (b = -4), (c = 3)，得到： [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} ] [ x = \frac{4 \pm 2}{2} ] [ x = 2 \text{ 或 } x = 1 ] 由于题目要求填空，所以答案为 (x = 2)。
三、解答题详解
1. 答案：
（1）(y = 2x + 1) （2）(x = 2)
解析：
本题考查了直线方程的求解。首先，我们根据题目条件列出方程组： [ \begin{cases} y = 2x + 1 \ y = -x + 3 \end{cases} ] 将第一个方程代入第二个方程，得到： [ 2x + 1 = -x + 3 ] [ 3x = 2 ] [ x = \frac{2}{3} ] 将 (x = \frac{2}{3}) 代入任意一个方程，得到 (y = \frac{5}{3})。因此，直线方程为 (y = 2x + 1)。
接下来，我们要求解直线与 (x) 轴的交点。由于 (y = 0)，代入直线方程，得到： [ 0 = 2x + 1 ] [ x = -\frac{1}{2} ] 因此，直线与 (x) 轴的交点为 ((- \frac{1}{2}, 0))。
四、解析题详解
1. 答案：
（1）(f(x) = x^3 - 3x) （2）(f’(x) = 3x^2 - 3)
解析：
本题考查了函数的求导。首先，我们要求出函数 (f(x) = x^3 - 3x) 的导数。根据求导法则，得到： [ f’(x) = 3x^2 - 3 ] 接下来，我们要求出 (f’(x)) 的零点。令 (f’(x) = 0)，得到： [ 3x^2 - 3 = 0 ] [ x^2 = 1 ] [ x = 1 \text{ 或 } x = -1 ] 因此，(f’(x)) 的零点为 (x = 1) 和 (x = -1)。
综上所述，全国卷2数学真题答案详解如上所示。这些题型涵盖了高考数学的主要知识点，希望对同学们有所帮助。