一、选择题
1. 题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f'(1) \) 等于：
A. \( 2 \)
B. \( -2 \)
C. \( 3 \)
D. \( -3 \)
解答： 首先，我们需要求出函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的导数。根据导数的基本运算法则，我们有： $\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)\( 然后，将 \) x = 1 \( 代入导数表达式，得到： \)\( f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0 \)\( 所以正确答案是 D. \) 0 $。
二、填空题
2. 题目：已知数列 \(\{a_n\}\) 的首项 \( a_1 = 1 \)，且对任意 \( n \in \mathbb{N}^* \)，都有 \( a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} \)，则 \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} \) 等于：
A. \( \sqrt{2} - 1 \)
B. \( 1 \)
C. \( \sqrt{2} + 1 \)
D. \( 2 \)
解答： 由题意知，\( a_2 = a_1 + \frac{1}{a_1} = 1 + 1 = 2 \)。我们假设 \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \)，则当 \( n \) 趋向于无穷大时，\( a_n \) 趋向于 \( L \cdot n \)。
由于 \( a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} \)，我们可以写出： $\( L \cdot (n+1) = L \cdot n + \frac{1}{L \cdot n} \)\( 将 \) L \cdot n \( 代入上式，得到： \)\( L \cdot n + \frac{1}{L \cdot n} = L \cdot n + \frac{1}{n} \)\( 这意味着： \)\( \frac{1}{L \cdot n} = \frac{1}{n} \)\( 所以 \) L = 1 \(。因此，正确答案是 B. \) 1 $。
三、解答题
3. 题目：设 \( f(x) = e^x - \sin x \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
解答： 首先，求 \( f(x) \) 的导数： $\( f'(x) = e^x - \cos x \)\( 令 \) f’(x) = 0 \(，得到 \) e^x - \cos x = 0 \(。这是一个超越方程，可以通过数值方法求解，例如牛顿法或者直接使用计算器，得到 \) x \approx 0.567 $。
接下来，我们检查这个点是否为最小值点。由于 \( f''(x) = e^x + \sin x \)，我们可以看到 \( f''(x) > 0 \) 对于所有的 \( x \)，这意味着 \( f(x) \) 在 \( x \approx 0.567 \) 处达到局部极小值。
因此，\( f(x) \) 的最小值是 \( f(0.567) \)。我们可以使用计算器来计算这个值。
最终，我们得到 \( f(x) \) 的最小值约为 \( f(0.567) \approx e^{0.567} - \sin(0.567) \)。
请注意，由于精确的数值计算可能需要使用计算器，以上解答提供了计算过程，但没有给出具体的数值结果。
总结
以上是对 2017 年全国卷 3 数学试题的选择题、填空题和解答题的详解。每个问题都详细地给出了解答思路和步骤，希望能帮助理解和解题。