一、选择题
题目1
已知函数 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，求 \(f'(x)\)。
答案： [ f’(x) = 3x^2 - 3 ]
题目2
若 \(a > b > 0\)，则下列不等式中正确的是：
A. \(a^2 > b^2\)
B. \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)
C. \(\sqrt{a} > \sqrt{b}\)
D. \(a^3 > b^3\)
答案： D. \(a^3 > b^3\)
二、填空题
题目3
若 \(2x - 3y = 5\)，则 \(x^2 + y^2\) 的最小值为______。
答案： 最小值为 \(5\)。
题目4
已知 \(a, b, c\) 是等差数列，且 \(a + b + c = 12\)，则 \(abc\) 的最大值为______。
答案： 最大值为 \(36\)。
三、解答题
题目5
已知函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}\)，求 \(f(x)\) 的定义域、零点、极值。
解答：
- 定义域：由于分母不能为零，所以 \(x \neq 2\)。因此，定义域为 \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)。
- 零点：令 \(f(x) = 0\)，解得 \(x = 1\) 或 \(x = 2\)。但由于 \(x \neq 2\)，所以零点为 \(x = 1\)。
- 极值：对 \(f(x)\) 求导得 \(f'(x) = \frac{2x^2 - 7x + 4}{(x - 2)^2}\)。令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = \frac{1}{2}\) 或 \(x = 4\)。由于 \(x \neq 2\)，所以极值点为 \(x = \frac{1}{2}\) 和 \(x = 4\)。计算得 \(f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{4}\)，\(f(4) = 2\)。因此，极小值为 \(-\frac{3}{4}\)，极大值为 \(2\)。
题目6
已知 \(a, b, c\) 是等差数列，且 \(a + b + c = 12\)，求 \(abc\) 的最大值。
解答： 由等差数列的性质，可得 \(2b = a + c\)。将 \(a + b + c = 12\) 代入上式，得 \(2b = 12 - b\)，解得 \(b = 4\)。因此，\(a + c = 8\)。设 \(a = 4 - d\)，\(c = 4 + d\)，则 \(abc = (4 - d)(4 + d)(4) = 16(4 - d^2)\)。由二次函数的性质，可知当 \(d = 0\) 时，\(abc\) 取得最大值，即 \(abc_{\text{max}} = 16 \times 4 = 64\)。
题目7
已知函数 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，求 \(f(x)\) 的单调区间。
解答： 对 \(f(x)\) 求导得 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)。令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = \pm 1\)。当 \(x < -1\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 单调递增；当 \(-1 < x < 1\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 单调递减；当 \(x > 1\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 单调递增。因此，\(f(x)\) 的单调递增区间为 \((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\)，单调递减区间为 \((-1, 1)\)。