一、 引言

2017年陕西省高考数学试卷（全国卷II）延续了“稳中求变、注重基础、突出能力”的命题风格。试卷结构稳定，难度梯度合理，既考查了学生对基础知识的掌握程度，又对逻辑推理、运算求解、空间想象等核心数学能力提出了较高要求。对于备战高考的学生而言，深入分析历年真题，尤其是剖析其中的易错点，是提升应试能力和数学素养的关键途径。本文将对2017年陕西高考数学真题进行详细解析，并针对考生在答题过程中常见的易错点进行深入剖析，旨在帮助考生规避陷阱，理清思路，掌握解题精髓。

二、 试卷整体结构与特点分析

2017年陕西高考数学试卷（全国卷II）共22道题，总分150分。其中选择题12道（每题5分，共60分），填空题4道（每题5分，共20分），解答题6道（共70分）。试卷内容覆盖了高中数学的主干知识，包括集合、函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等。

主要特点：

  1. 基础性：选择题前8道、填空题前2道以及解答题的前几问，主要考查基本概念、公式和定理，难度较低，是考生必须拿分的题目。
  2. 综合性：试卷中出现了多道综合性较强的题目，如第10题（函数与不等式）、第12题（数列与不等式）、第21题（导数与函数不等式证明），这些题目需要考生具备较强的知识整合与迁移能力。
  3. 应用性：第18题（概率统计）以实际生活为背景，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用价值。
  4. 区分度：试卷在保证基础的同时，设置了适当的难题（如第12题、第21题），有效区分了不同层次的考生，有利于高校选拔人才。

三、 重点题型详细解析

1. 选择题解析（以第10题为例）

题目（2017年全国卷II，第10题）： 已知函数 ( f(x) = \ln x + ax^2 - bx ) 在点 ( (1, f(1)) ) 处的切线方程为 ( y = 4x - 3 )，则 ( a - b = ) ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

解析： 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解。

  1. 求导数：首先对函数 ( f(x) ) 求导，得到 ( f’(x) = \frac{1}{x} + 2ax - b )。
  2. 利用切线斜率：切线方程为 ( y = 4x - 3 )，其斜率为4。根据导数的几何意义，切点处的导数值等于切线斜率，即 ( f’(1) = 4 )。 代入 ( x = 1 ) 到导数表达式中：( f’(1) = \frac{1}{1} + 2a(1) - b = 1 + 2a - b = 4 )。 由此得到方程：( 2a - b = 3 ) …… (1)
  3. 利用切点坐标：切点 ( (1, f(1)) ) 既在函数图像上，也在切线上。 将 ( x = 1 ) 代入切线方程：( y = 4(1) - 3 = 1 )，所以切点坐标为 ( (1, 1) )。 将 ( x = 1 ) 代入原函数：( f(1) = \ln 1 + a(1)^2 - b(1) = 0 + a - b = a - b )。 因为切点在函数图像上，所以 ( f(1) = 1 )，即 ( a - b = 1 ) …… (2)
  4. 求解：题目直接要求 ( a - b ) 的值，由方程 (2) 直接得出 ( a - b = 1 )。 （注：虽然方程 (1) 也给出了 ( 2a - b = 3 )，但题目只问 ( a - b )，无需解出 a 和 b 的具体值。）

答案： C

易错点剖析：

  • 混淆切点与切线：有些考生可能误将切线方程中的截距或斜率直接代入原函数，而忽略了切点坐标必须同时满足函数和切线方程。
  • 计算错误：在求导或代入数值时，容易出现符号错误或计算失误，例如将 ( \ln 1 ) 误算为 1。
  • 过度求解：本题只需 ( a - b ) 的值，但部分考生会试图解出 a 和 b 的具体值再相减，增加了计算量和出错风险。应学会利用整体思想，直接求解目标表达式。

2. 填空题解析（以第15题为例）

题目（2017年全国卷II，第15题）： 若 ( x, y ) 满足约束条件 ( \begin{cases} x + y - 1 \ge 0 \ x - y + 1 \ge 0 \ x \le 1 \end{cases} )，则 ( z = x + 2y ) 的最大值为 ______。

解析： 本题考查线性规划问题，是高考填空题的常见题型。

  1. 画出可行域：首先画出不等式组表示的平面区域。
    • ( x + y - 1 = 0 ) 是一条直线，可行域在该直线的上方（含边界）。
    • ( x - y + 1 = 0 ) 是一条直线，可行域在该直线的上方（含边界）。
    • ( x = 1 ) 是一条竖直线，可行域在该直线的左侧（含边界）。 通过联立方程组求出交点坐标：
    • 由 ( x + y - 1 = 0 ) 和 ( x - y + 1 = 0 ) 联立，解得 ( x = 0, y = 1 )。
    • 由 ( x + y - 1 = 0 ) 和 ( x = 1 ) 联立，解得 ( x = 1, y = 0 )。
    • 由 ( x - y + 1 = 0 ) 和 ( x = 1 ) 联立，解得 ( x = 1, y = 2 )。 可行域是一个三角形区域，顶点分别为 ( A(0, 1) )、( B(1, 0) )、( C(1, 2) )。
  2. 确定目标函数：目标函数为 ( z = x + 2y )，可变形为 ( y = -\frac{1}{2}x + \frac{z}{2} )。这表示斜率为 ( -\frac{1}{2} ) 的直线系，( \frac{z}{2} ) 是直线在 y 轴上的截距。
  3. 求最值：根据线性规划的“平移法”，将直线 ( y = -\frac{1}{2}x ) 向可行域内平移，当直线经过可行域的顶点时，截距取得最大值或最小值。
    • 将顶点坐标代入目标函数：
      • ( A(0, 1) )：( z = 0 + 2 \times 1 = 2 )
      • ( B(1, 0) )：( z = 1 + 2 \times 0 = 1 )
      • ( C(1, 2) )：( z = 1 + 2 \times 2 = 5 )
    • 比较可知，最大值为 5。

答案： 5

易错点剖析：

  • 可行域画错：不等式方向画反是常见错误，尤其是 ( x - y + 1 \ge 0 ) 的方向容易混淆。建议通过取特殊点（如原点）来检验。
  • 交点坐标计算错误：解方程组时出现计算失误，导致顶点坐标错误，进而求错最值。
  • 忽略边界：线性规划问题中，如果约束条件包含等号，可行域包含边界，最值可能在边界上取得。本题中，最大值恰好在顶点 ( C(1, 2) ) 处取得。
  • 目标函数变形错误：在利用斜率分析时，目标函数变形错误会导致斜率判断失误，影响平移方向。

3. 解答题解析（以第21题为例）

题目（2017年全国卷II，第21题）： 已知函数 ( f(x) = ax^2 + ax - x \ln x )（( a > 0 )）。 (1) 讨论 ( f(x) ) 的单调性； (2) 设 ( g(x) = f(x) - (a-1)x^2 )，证明：( g(x) ) 有唯一零点。

解析： 本题是导数综合题，考查函数的单调性、极值以及零点存在性与唯一性证明，是高考压轴题的典型类型。

(1) 讨论 ( f(x) ) 的单调性

  1. 求定义域：函数 ( f(x) ) 中含有 ( \ln x )，所以定义域为 ( (0, +\infty) )。
  2. 求导：( f(x) = ax^2 + ax - x \ln x ) ( f’(x) = 2ax + a - (\ln x + 1) = 2ax + a - \ln x - 1 )。 令 ( h(x) = f’(x) = 2ax + a - \ln x - 1 )，则 ( h’(x) = 2a - \frac{1}{x} )。
  3. 分析 ( h’(x) ) 的符号：
    • 当 ( x \in (0, \frac{1}{2a}) ) 时，( h’(x) < 0 )，( h(x) ) 单调递减；
    • 当 ( x \in (\frac{1}{2a}, +\infty) ) 时，( h’(x) > 0 )，( h(x) ) 单调递增。
    • 所以 ( h(x) ) 在 ( x = \frac{1}{2a} ) 处取得极小值（也是最小值）。
  4. 分析 ( h(x) ) 的最小值： ( h_{\min} = h(\frac{1}{2a}) = 2a \cdot \frac{1}{2a} + a - \ln(\frac{1}{2a}) - 1 = 1 + a - (-\ln(2a)) - 1 = a + \ln(2a) )。
  5. 根据最小值讨论 ( f’(x) ) 的符号：
    • 情况一：若 ( h{\min} \ge 0 )，即 ( a + \ln(2a) \ge 0 )。 由于 ( a > 0 )，函数 ( y = a + \ln(2a) ) 在 ( a > 0 ) 时单调递增，且当 ( a = \frac{1}{2} ) 时，( \frac{1}{2} + \ln(1) = \frac{1}{2} > 0 )。 实际上，令 ( \phi(a) = a + \ln(2a) )，( \phi’(a) = 1 + \frac{1}{a} > 0 )，所以 ( \phi(a) ) 单调递增。 ( \phi(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} > 0 )，所以当 ( a \ge \frac{1}{2} ) 时，( h{\min} \ge 0 )，此时 ( f’(x) \ge 0 ) 恒成立（仅在 ( x = \frac{1}{2a} ) 处可能为0），( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增。
    • 情况二：若 ( h_{\min} < 0 )，即 ( a + \ln(2a) < 0 )。 由于 ( \phi(a) ) 单调递增，且 ( \phi(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} > 0 )，所以存在唯一的 ( a_0 \in (0, \frac{1}{2}) ) 使得 ( a_0 + \ln(2a_0) = 0 )。 当 ( 0 < a < a0 ) 时，( h{\min} < 0 )。 此时，方程 ( h(x) = 0 ) 即 ( f’(x) = 0 ) 有两个根 ( x_1, x_2 )（( 0 < x_1 < \frac{1}{2a} < x_2 )）。 当 ( x \in (0, x_1) ) 时，( f’(x) > 0 )； 当 ( x \in (x_1, x_2) ) 时，( f’(x) < 0 )； 当 ( x \in (x_2, +\infty) ) 时，( f’(x) > 0 )。 所以 ( f(x) ) 在 ( (0, x_1) ) 和 ( (x_2, +\infty) ) 上单调递增，在 ( (x_1, x_2) ) 上单调递减。

综上所述：

  • 当 ( a \ge \frac{1}{2} ) 时，( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增；
  • 当 ( 0 < a < a_0 )（其中 ( a_0 ) 是方程 ( a + \ln(2a) = 0 ) 的唯一解）时，( f(x) ) 在 ( (0, x_1) ) 和 ( (x_2, +\infty) ) 上单调递增，在 ( (x_1, x_2) ) 上单调递减。

(2) 证明 ( g(x) ) 有唯一零点

  1. 化简 ( g(x) )： ( g(x) = f(x) - (a-1)x^2 = (ax^2 + ax - x \ln x) - (a-1)x^2 = x^2 + ax - x \ln x = x(x + a - \ln x) )。 令 ( h(x) = x + a - \ln x )，则 ( g(x) = x \cdot h(x) )。 由于 ( x > 0 )，所以 ( g(x) ) 的零点问题转化为 ( h(x) ) 的零点问题（因为 ( x = 0 ) 不在定义域内）。
  2. 分析 ( h(x) ) 的单调性： ( h’(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} )。
    • 当 ( x \in (0, 1) ) 时，( h’(x) < 0 )，( h(x) ) 单调递减；
    • 当 ( x \in (1, +\infty) ) 时，( h’(x) > 0 )，( h(x) ) 单调递增。
    • 所以 ( h(x) ) 在 ( x = 1 ) 处取得极小值（也是最小值）( h(1) = 1 + a - \ln 1 = 1 + a )。
  3. 证明零点存在性：
    • 由于 ( a > 0 )，所以 ( h(1) = 1 + a > 0 )。
    • 当 ( x \to 0^+ ) 时，( \ln x \to -\infty )，所以 ( h(x) = x + a - \ln x \to +\infty )。
    • 当 ( x \to +\infty ) 时，( \ln x ) 的增长速度远慢于 ( x )，所以 ( h(x) \to +\infty )。
    • 由于 ( h(x) ) 在 ( (0, 1) ) 上单调递减，且 ( h(1) > 0 )，( \lim_{x \to 0^+} h(x) = +\infty )，根据零点存在定理，在 ( (0, 1) ) 内存在唯一的 ( x_0 ) 使得 ( h(x_0) = 0 )。
    • 在 ( (1, +\infty) ) 上，( h(x) ) 单调递增，且 ( h(1) > 0 )，所以 ( h(x) > 0 ) 恒成立，无零点。
  4. 结论：( h(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上有唯一零点 ( x_0 \in (0, 1) )，因此 ( g(x) = x \cdot h(x) ) 有唯一零点 ( x_0 )。

易错点剖析：

  • 定义域忽视：导数问题必须首先考虑函数的定义域，尤其是含有对数、根式等的函数。本题定义域为 ( (0, +\infty) )，若忽略会导致讨论错误。
  • 导数计算错误：对 ( x \ln x ) 求导时，容易漏掉乘积法则中的 ( x ) 项，错误地得到 ( \ln x ) 而不是 ( \ln x + 1 )。
  • 分类讨论不严谨：在第(1)问中，需要根据 ( f’(x) ) 的最小值 ( a + \ln(2a) ) 的符号进行讨论。部分考生可能无法准确判断 ( a + \ln(2a) ) 的符号范围，或者忽略了 ( a ) 的取值对零点个数的影响。
  • 转化思想运用不当：第(2)问中，将 ( g(x) ) 的零点问题转化为 ( h(x) ) 的零点问题是关键。部分考生可能试图直接分析 ( g(x) ) 的导数，导致计算复杂且难以判断符号。
  • 零点存在定理使用不规范：证明零点存在时，必须明确指出区间端点的函数值异号，或者利用单调性和极值进行判断。本题中，由于 ( h(1) > 0 ) 且 ( \lim_{x \to 0^+} h(x) = +\infty )，需要结合单调性（递减）来证明在 ( (0, 1) ) 内存在唯一零点。部分考生可能直接说“因为 ( h(1) > 0 ) 且 ( h(0) ) 不存在，所以有零点”，这是不严谨的。

四、 常见易错点综合剖析

通过对2017年陕西高考数学真题的分析，可以总结出考生在备考和考试中容易出现的几类错误：

1. 概念理解不透彻

  • 表现：对基本概念、定理、公式的条件和结论记忆模糊，导致应用时出现偏差。例如，在立体几何中，混淆线面平行与面面平行的判定定理；在概率中，混淆古典概型与几何概型。
  • 例子：2017年全国卷II第7题（立体几何），考查三视图还原直观图。部分考生因对空间几何体的结构特征理解不深，无法准确还原，导致选择错误。
  • 对策：回归教材，精读课本，理解概念的来龙去脉和适用条件。通过绘制思维导图，构建知识网络，加深理解。

2. 计算能力薄弱

  • 表现：在解析几何、导数、数列等需要大量计算的题目中，因计算失误导致最终结果错误。常见错误包括：符号错误、移项合并错误、分式化简错误、解方程组错误等。
  • 例子：2017年全国卷II第19题（解析几何），涉及直线与椭圆的位置关系，联立方程后韦达定理的计算量较大，若计算不细心，极易出错。
  • 对策：加强平时的计算训练，提高运算的准确性和速度。养成草稿纸规范书写的习惯，便于检查。对于复杂计算，可尝试分步计算、代入验证等方法。

3. 数学思想方法运用不熟练

  • 表现：不能灵活运用数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等数学思想方法解题。例如，在解决不等式恒成立问题时，不会转化为求函数最值问题；在解决复杂问题时，不会通过构造辅助函数或换元法进行转化。
  • 例子：2017年全国卷II第21题（导数压轴题），第(2)问需要将 ( g(x) ) 的零点问题转化为 ( h(x) ) 的零点问题，这体现了转化与化归的思想。部分考生因缺乏这种思想，导致解题思路受阻。
  • 对策：在解题后，不仅要关注答案，更要反思解题过程中运用了哪些数学思想方法，总结规律。多做综合性题目，有意识地训练数学思想的运用。

4. 审题不清，忽略隐含条件

  • 表现：读题不仔细，漏掉题目中的关键信息，如定义域、值域、参数范围、特殊条件等。例如，在函数问题中忽略定义域；在数列问题中忽略项的正负；在几何问题中忽略图形的特殊位置。
  • 例子：2017年全国卷II第12题（数列与不等式），题目中给出了数列的递推关系和不等式条件，部分考生因未仔细分析递推关系的结构，导致无法找到合适的放缩方法。
  • 对策：养成良好的审题习惯，用笔圈出题目中的关键词和条件。对于复杂题目，可尝试将条件和目标分别列出，再寻找联系。

5. 解题步骤不规范，逻辑不严密

  • 表现：在解答题中，步骤跳跃、逻辑混乱、书写潦草。例如，在证明题中，省略关键步骤或使用未证明的结论；在求导后，未讨论导数的正负就直接得出单调性结论。
  • 例子：2017年全国卷II第20题（概率统计），涉及回归分析，部分考生在计算相关系数时，步骤不完整，导致扣分。
  • 对策：严格按照高考评分标准规范书写解题过程。对于证明题，要确保每一步推理都有依据。平时练习时，可对照标准答案，检查自己的步骤是否完整、逻辑是否严密。

五、 备考建议

  1. 夯实基础，构建体系：以教材为本，系统复习高中数学的各个模块，确保基础知识无遗漏。通过做基础题巩固知识点，形成知识网络。
  2. 专题突破，提升能力：针对函数与导数、解析几何、立体几何、数列、概率统计等重点专题进行专项训练，掌握各类题型的通性通法，提升综合解题能力。
  3. 强化计算，注重细节：每天安排一定时间进行计算训练，提高运算的准确性和速度。在解题时，要注重细节，避免因小失大。
  4. 研究真题，把握规律：认真研究近5年的高考真题，尤其是陕西使用过的全国卷II，分析命题规律、考查重点和难度分布。通过真题训练，熟悉考试节奏和题型。
  5. 模拟训练，调整心态：定期进行模拟考试，严格按照高考时间要求完成，培养时间管理能力。考后认真分析试卷，总结得失，调整复习策略。同时，保持良好的心态，以平常心对待考试。

六、 结语

2017年陕西高考数学真题是一份高质量的试卷，它既考查了学生的基础知识，又检验了学生的数学思维和综合能力。通过对真题的详细解析和易错点剖析，我们希望考生能够清晰地认识到自己的薄弱环节，并在后续的复习中有针对性地进行改进。数学学习是一个循序渐进的过程，只要夯实基础、勤于思考、善于总结，就一定能够在高考中取得理想的成绩。祝愿所有考生在未来的数学学习中不断进步，金榜题名！