引言
高考数学卷作为衡量学生数学能力的重要工具，每年都会设置一些具有挑战性的压轴题。2017年高考数学卷3的压轴题，以其深度的数学思维和巧妙的解题技巧，成为了考生和教师关注的焦点。本文将深入解析这道压轴题，帮助读者理解其解题思路，挑战极限思维。
题目回顾
2017年高考数学卷3的压轴题如下：
设函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x) \geq 0\)。
解题思路
1. 构造函数
首先，我们需要证明对于任意实数\(x\)，\(f(x) \geq 0\)。为了达到这个目的，我们可以构造一个新的函数\(g(x)\)，使得\(g(x)\)在\(x=0\)处取得最小值，并且\(g(x) \geq 0\)。
2. 求导分析
为了构造函数\(g(x)\)，我们需要对\(f(x)\)求导。求导过程如下：
\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 3\]
令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = 1\)。因此，\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极小值。
3. 构造函数\(g(x)\)
根据上述分析，我们可以构造函数\(g(x)\)如下：
\[g(x) = f(x) - f'(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - (3x^2 - 6x + 3) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4\]
4. 分析\(g(x)\)
接下来，我们需要分析\(g(x)\)的性质。首先，求\(g(x)\)的导数：
\[g'(x) = 3x^2 - 12x + 9\]
令\(g'(x) = 0\)，解得\(x = 1\)和\(x = 3\)。因此，\(g(x)\)在\(x=1\)和\(x=3\)处取得极值。
通过计算\(g(1)\)和\(g(3)\)的值，我们可以发现\(g(x)\)在\(x=1\)处取得最小值\(g(1) = -2\)，在\(x=3\)处取得最大值\(g(3) = 0\)。
5. 证明\(f(x) \geq 0\)
由于\(g(x) \geq 0\)，且\(g(x)\)在\(x=1\)处取得最小值，因此对于任意实数\(x\)，都有\(f(x) \geq f'(x)\)。结合\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极小值，我们可以得出结论：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x) \geq 0\)。
总结
2017年高考数学卷3的压轴题，通过构造函数、求导分析、极值求解等步骤，巧妙地证明了\(f(x) \geq 0\)。这道题目不仅考察了学生的数学思维能力，还锻炼了学生的极限思维。通过对这道题目的解析，我们可以更好地理解函数的性质和解题技巧。