一、选择题解析
1. 题目回顾
2017年全国二数学选择题第1题：若函数\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)在区间\([0,2]\)上的最大值为3，则\(f(x)\)在区间\([-2,0]\)上的最小值为______。
2. 解题思路
本题考查函数的极值问题。首先，我们需要求出函数\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)的导数，然后根据导数的符号确定函数的单调性，最后求出区间\([-2,0]\)上的最小值。
3. 解题步骤
- 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 3\)
- 求导数的零点：\(3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\)
- 分析区间\([0,2]\)上的单调性：由于\(f'(x) = 3x^2 - 3\)，当\(x \in [0,1]\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；当\(x \in [1,2]\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。
- 因为\(f(0) = 2\)，\(f(1) = 0\)，\(f(2) = 2\)，且\(f(1) = 0\)是区间\([0,2]\)上的最小值，所以\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的最大值为3。
- 类似地，分析区间\([-2,0]\)上的单调性：由于\(f'(x) = 3x^2 - 3\)，当\(x \in [-2,-1]\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；当\(x \in [-1,0]\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减。
- 因为\(f(-2) = -2\)，\(f(-1) = 0\)，所以\(f(x)\)在区间\([-2,0]\)上的最小值为-2。
4. 答案
-2
二、填空题解析
1. 题目回顾
2017年全国二数学填空题第2题：若复数\(z\)满足\(|z+1| = 2\)，则\(z\)的实部\(\Re(z)\)的取值范围是______。
2. 解题思路
本题考查复数的几何意义。我们可以将复数\(z\)表示为平面上的点，然后根据复数的模长和几何关系求解。
3. 解题步骤
- 将复数\(z\)表示为平面上的点\((x, y)\)，则\(z = x + yi\)。
- 根据复数的模长公式，有\(|z+1| = |(x+1) + yi| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 2\)。
- 这是一个以点\((-1, 0)\)为圆心，半径为2的圆的方程。
- 由于实部\(\Re(z) = x\)，我们需要找到圆上\(x\)的取值范围。
- 当圆上的点与实轴相切时，\(x\)的取值范围达到最大值和最小值。
- 圆心到实轴的距离为1，所以\(x\)的取值范围是\([-3, 1]\)。
4. 答案
\([-3, 1]\)
三、解答题解析
1. 题目回顾
2017年全国二数学解答题第20题：已知函数\(f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}\)，求\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)，并求出\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上的极值。
2. 解题思路
本题考查导数的计算和极值问题。首先，我们需要求出函数\(f(x)\)的导数，然后通过判断导数的符号变化来确定极值点。
3. 解题步骤
- 求导数：\(f'(x) = \frac{(x^2 - 4x + 3)'(x - 1) - (x^2 - 4x + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 4}{(x - 1)^2}\)
- 判断导数的符号变化：\(f'(x) = \frac{2(x - 2)}{(x - 1)^2}\)，当\(x < 2\)时，\(f'(x) < 0\)，当\(x > 2\)时，\(f'(x) > 0\)。
- 因此，\(x = 2\)是\(f(x)\)的极小值点。
- 计算\(f(2) = \frac{2^2 - 4 \cdot 2 + 3}{2 - 1} = -1\)，所以\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上的极小值为-1。
- 由于\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上连续，且在\(x = 1\)处无定义，所以\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上无极大值。
4. 答案
\(f'(x) = \frac{2(x - 2)}{(x - 1)^2}\)，极小值为-1。
通过以上对2017年全国二数学真题的详细解析，相信读者已经对解题技巧有了更深的理解。希望这些解析能够帮助读者在未来的学习中更加得心应手。