一、选择题部分
1. 答案解析
题目：设函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，则\(f(x)\)的极值点为：
选项： A. \(x = -1\)，\(x = 1\) B. \(x = -1\)，\(x = 2\) C. \(x = 1\)，\(x = 2\) D. \(x = -1\)，\(x = -2\)
答案：A
解析：首先求导数\(f'(x) = 3x^2 - 3\)，令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = -1\)，\(x = 1\)。再求二阶导数\(f''(x) = 6x\)，代入\(x = -1\)，\(f''(-1) = -6 < 0\)，故\(x = -1\)为极大值点；代入\(x = 1\)，\(f''(1) = 6 > 0\)，故\(x = 1\)为极小值点。
2. 答案解析
题目：若\(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\)，则\(\sin 2x\)的值为：
选项： A. \(1\) B. \(0\) C. \(-1\) D. \(\frac{1}{2}\)
答案：A
解析：由\(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\)，平方得\(1 + 2\sin x\cos x = 2\)，即\(\sin 2x = 1\)。
二、填空题部分
1. 答案解析
题目：若\(\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} = 2\)，则\(\sin x\cos x\)的值为：
答案：\(\frac{1}{2}\)
解析：由\(\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} = 2\)，得\(\sin x\cos x = \frac{1}{2}\)。
2. 答案解析
题目：设\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(a + b = 1\)，则\(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)的最大值为：
答案：\(\sqrt{2}\)
解析：由柯西不等式得\((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \leq (1 + 1)(a + b) = 2\)，即\(\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}\)，当且仅当\(a = b = \frac{1}{2}\)时取等号。
三、解答题部分
1. 答案解析
题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，求\(f(x)\)在区间\([-1, 2]\)上的最大值和最小值。
答案：最大值为\(3\)，最小值为\(-1\)。
解析：首先求导数\(f'(x) = 3x^2 - 3\)，令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = -1\)，\(x = 1\)。再求二阶导数\(f''(x) = 6x\)，代入\(x = -1\)，\(f''(-1) = -6 < 0\)，故\(x = -1\)为极大值点；代入\(x = 1\)，\(f''(1) = 6 > 0\)，故\(x = 1\)为极小值点。又因为\(f(-1) = 3\)，\(f(1) = -1\)，\(f(2) = 1\)，所以\(f(x)\)在区间\([-1, 2]\)上的最大值为\(3\)，最小值为\(-1\)。
2. 答案解析
题目：已知函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)，求\(f(x)\)的导数。
答案：\(f'(x) = \frac{x^2 + 1}{(x - 1)^2}\)。
解析：由商法则得\(f'(x) = \frac{(x^2 - 1)'(x - 1) - (x^2 - 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 - 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 + 1}{(x - 1)^2}\)。