一、试卷概述
2017年韶关二模数学试卷主要分为两部分：选择题和解答题。选择题涵盖了代数、几何、概率统计等基础知识，解答题则涉及了函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等多个模块。试卷难度适中，既考察了学生的基础知识，又考察了学生的综合运用能力。
二、选择题解析
1. 代数
- 题目：若实数 (a, b, c) 满足 (a + b + c = 0)，则 (a^2 + b^2 + c^2) 的最小值为 ________。
- 解析：由 (a + b + c = 0)，得 (a = -b - c)。将 (a) 代入 (a^2 + b^2 + c^2)，得 ((-b - c)^2 + b^2 + c^2 = 2b^2 + 2c^2 + 2bc)。由基本不等式 (b^2 + c^2 \geq 2bc)，得 (2b^2 + 2c^2 + 2bc \geq 3bc)。因此，(a^2 + b^2 + c^2) 的最小值为 (3bc)。
- 答案：(3bc)
2. 几何
- 题目：在平面直角坐标系中，点 (A(1, 2))，点 (B) 在直线 (y = x) 上，且 (AB) 的中点为 (C(2, 3))，则点 (B) 的坐标为 ________。
- 解析：设点 (B) 的坐标为 ((x, x))，则 (C) 的坐标为 (\left(\frac{x+1}{2}, \frac{x+2}{2}\right))。由 (C(2, 3))，得 (\frac{x+1}{2} = 2)，(\frac{x+2}{2} = 3)，解得 (x = 3)。因此，点 (B) 的坐标为 ((3, 3))。
- 答案：((3, 3))
3. 概率统计
- 题目：从 (1, 2, 3, 4, 5) 中随机选取一个数，求选取的数为偶数的概率。
- 解析：从 (1, 2, 3, 4, 5) 中选取一个数，共有 (5) 种可能。其中，偶数有 (2, 4) 两种，因此选取的数为偶数的概率为 (\frac{2}{5})。
- 答案：(\frac{2}{5})
三、解答题解析
1. 函数
- 题目：已知函数 (f(x) = x^3 - 3x + 1)，求 (f(x)) 的最大值和最小值。
- 解析：求 (f(x)) 的导数 (f’(x) = 3x^2 - 3)。令 (f’(x) = 0)，得 (x = \pm 1)。将 (x = \pm 1) 代入 (f(x))，得 (f(1) = -1)，(f(-1) = 3)。因此，(f(x)) 的最大值为 (3)，最小值为 (-1)。
- 答案：最大值为 (3)，最小值为 (-1)
2. 数列
- 题目：已知数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和为 (S_n = 2n^2 - n)，求 (a_1 + a_2 + a_3)。
- 解析：由 (S_n = 2n^2 - n)，得 (a_1 = S_1 = 1)，(a_2 = S_2 - S_1 = 6 - 1 = 5)，(a_3 = S_3 - S_2 = 15 - 6 = 9)。因此，(a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 5 + 9 = 15)。
- 答案：(15)
3. 不等式
- 题目：已知 (a, b, c) 为实数，且 (a + b + c = 3)，(abc = 1)，求 (a^2 + b^2 + c^2) 的最小值。
- 解析：由 (a + b + c = 3)，得 ((a + b + c)^2 = 9)。展开得 (a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 9)。由 (abc = 1)，得 (ab + bc + ca = 3)。因此，(a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 \times 3 = 3)。由基本不等式 (a^2 + b^2 + c^2 \geq 3(ab + bc + ca))，得 (a^2 + b^2 + c^2 \geq 9)。因此，(a^2 + b^2 + c^2) 的最小值为 (9)。
- 答案：(9)
4. 立体几何
- 题目：已知正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 的棱长为 (2)，求 (A_1B_1) 的长度。
- 解析：由正方体的性质，(A_1B_1) 为正方体的对角线，因此 (A_1B_1 = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = 2\sqrt{3})。
- 答案：(2\sqrt{3})
5. 解析几何
- 题目：已知椭圆 (\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1) 的一个焦点为 (F(1, 0))，求椭圆的方程。
- 解析：由椭圆的性质，(c^2 = a^2 - b^2)，其中 (c) 为焦距，(a) 为半长轴，(b) 为半短轴。由 (F(1, 0))，得 (c = 1)。将 (c) 代入 (c^2 = a^2 - b^2)，得 (a^2 - b^2 = 1)。由椭圆的方程 (\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1)，得 (a^2 = 4)，(b^2 = 3)。因此，椭圆的方程为 (\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1)。
- 答案：(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1)