引言

2019年江苏高考数学试卷以其难度和深度著称，不仅考察了学生的基础知识，还考验了他们的解题技巧和思维能力。本文将深入解析2019年江苏高考数学试卷中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。

一、2019年江苏高考数学试卷概述

2019年江苏高考数学试卷分为两部分：选择题和非选择题。选择题包括填空题和选择题，非选择题包括解答题和应用题。试卷内容涵盖了函数、数列、立体几何、概率统计等多个数学领域。

二、难题解析

1. 函数题

题目示例：已知函数\(f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)\)，求\(f(x)\)的单调区间。

解析：首先，求出\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)，然后通过判断\(f'(x)\)的符号来确定\(f(x)\)的单调性。具体步骤如下：

  • 求\(f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x^2}\)。
  • 令\(f'(x) > 0\)，解得\(x > 1\)；令\(f'(x) < 0\)，解得\(0 < x < 1\)。
  • 因此，\(f(x)\)在\((0, 1)\)上单调递减，在\((1, +\infty)\)上单调递增。

2. 数列题

题目示例：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。

解析：利用数列的通项公式，计算极限值。具体步骤如下：

  • \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 1}{2^{n-1} - 1}\)。
  • 通过分子分母同时除以\(2^{n-1}\)，得到\(\lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{2^{n-1}}}{1 - \frac{1}{2^n}} = 2\)。

3. 立体几何题

题目示例：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，求点\(E\)在侧面\(A_1B_1C_1D_1\)上的轨迹方程，其中\(E\)为\(A_1B_1\)的中点。

解析：利用空间几何知识，建立坐标系，然后求解轨迹方程。具体步骤如下：

  • 以\(D\)为原点，\(DA\)为\(x\)轴，\(DC\)为\(y\)轴，\(DD_1\)为\(z\)轴建立空间直角坐标系。
  • 设\(E\)的坐标为\((x, y, z)\)，则\(A_1B_1\)的中点坐标为\((1, 0, 0)\)。
  • 由于\(E\)为\(A_1B_1\)的中点，故\(x = 1\)。
  • 利用正方体的性质，可得\(y^2 + z^2 = 1\)。
  • 因此，点\(E\)在侧面\(A_1B_1C_1D_1\)上的轨迹方程为\(y^2 + z^2 = 1\)。

4. 概率统计题

题目示例：已知袋中有5个红球、3个蓝球和2个绿球，随机取出3个球，求取出的3个球中至少有1个红球的概率。

解析：利用组合数和概率公式，计算概率值。具体步骤如下：

  • 所有可能的取法共有\(C_{10}^3\)种。
  • 至少有1个红球的取法有\(C_5^1 \times C_5^2 + C_5^2 \times C_5^1 + C_5^3\)种。
  • 因此，所求概率为\(\frac{C_5^1 \times C_5^2 + C_5^2 \times C_5^1 + C_5^3}{C_{10}^3} = \frac{2}{3}\)。

三、备考策略

1. 夯实基础知识

考生应熟练掌握高中数学的基本概念、公式和定理，为解决难题打下坚实的基础。

2. 提高解题技巧

考生应通过大量练习，掌握各种题型的解题方法，提高解题速度和准确率。

3. 培养思维能力

考生应注重培养逻辑思维、空间想象和抽象思维能力，以应对高考中的难题。

4. 关注时事热点

考生应关注数学领域的最新研究成果，了解数学在实际生活中的应用，提高自己的综合素质。

结语

2019年江苏高考数学试卷的难度和深度为考生带来了挑战，但通过深入解析难题和制定合理的备考策略，考生可以克服困难，取得优异成绩。希望本文能为考生提供有益的参考。