引言

高考数学作为高考的重要组成部分，对于考生来说既是挑战也是机遇。2019年高考数学全国一试卷在难度和深度上都有所提升，本文将针对该试卷中的难点进行剖析，并提供相应的解题技巧，帮助考生更好地理解和掌握高考数学。

一、试卷概述

2019年高考数学全国一试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分，涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等多个知识点。试卷整体难度适中，但部分题目对考生的逻辑思维和计算能力要求较高。

二、难点剖析

1. 函数与导数

难点：函数的图像与性质、导数的计算与应用。 解题技巧：

  • 熟练掌握常见函数的图像和性质，如指数函数、对数函数、三角函数等。
  • 熟练运用导数的定义和求导法则，解决函数的单调性、极值、最值等问题。

例题： 设函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，求\(f'(x)\)。

解答： 根据导数的定义和求导法则，有： $\(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)\( \)\(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^3 - 3(x + \Delta x)^2 + 4 - (x^3 - 3x^2 + 4)}{\Delta x}\)\( \)\(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 3x^2 - 6x\Delta x - 3(\Delta x)^2 + 4 - x^3 + 3x^2 - 4}{\Delta x}\)\( \)\(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 6x\Delta x - 3(\Delta x)^2}{\Delta x}\)\( \)\(= \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 - 6x + 3\Delta x - 3\Delta x)\)\( \)\(= 3x^2 - 6x\)\( 所以，\)f’(x) = 3x^2 - 6x$。

2. 数列

难点：数列的通项公式、数列的求和。 解题技巧：

  • 熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式和求和公式。
  • 运用数列的性质解决数列问题。

例题： 已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，求\(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\)。

解答： 根据等比数列的求和公式，有： $\(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\)\( 其中，\)a_1 = 1\(，\)r = 2\(，代入上式得： \)\(S_n = \frac{1(1 - 2^n)}{1 - 2} = 2^n - 1\)\( 所以，\)S_n = 2^n - 1$。

3. 立体几何

难点：空间几何体的计算、空间几何问题的解决。 解题技巧：

  • 熟练掌握空间几何体的性质和计算公式。
  • 运用空间几何知识解决实际问题。

例题： 已知正方体的对角线长为\(\sqrt{3}\)，求正方体的体积。

解答： 设正方体的边长为\(a\)，则对角线长为\(\sqrt{3}a\)，根据勾股定理，有： $\(\sqrt{3}a = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2}\)\( \)\(\Rightarrow a = 1\)\( 所以，正方体的体积为\)a^3 = 1^3 = 1$。

4. 解析几何

难点：直线与圆的位置关系、圆锥曲线的性质。 解题技巧：

  • 熟练掌握直线与圆的位置关系，如相交、相切、相离等。
  • 熟练掌握圆锥曲线的性质，如椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、渐近线等。

例题： 已知圆\(x^2 + y^2 = 1\)，直线\(y = kx + b\)与圆相交于点\(A\)、\(B\)，求\(k\)和\(b\)的取值范围。

解答： 将直线方程代入圆的方程，得： $\(x^2 + (kx + b)^2 = 1\)\( \)\(\Rightarrow (k^2 + 1)x^2 + 2kbx + b^2 - 1 = 0\)\( 根据韦达定理，有： \)\(x_1 + x_2 = -\frac{2kb}{k^2 + 1}\)\( \)\(x_1x_2 = \frac{b^2 - 1}{k^2 + 1}\)\( 由直线与圆相交的条件，得到： \)\(\Delta = 4k^2b^2 - 4(k^2 + 1)(b^2 - 1) > 0\)\( \)\(\Rightarrow b^2 < k^2 + 1\)\( 所以，\)k\(和\)b\(的取值范围为\)b^2 < k^2 + 1$。

5. 概率统计

难点：随机事件的概率计算、统计量的计算。 解题技巧：

  • 熟练掌握随机事件的概率计算公式，如古典概型、几何概型、条件概率等。
  • 熟练掌握统计量的计算公式，如均值、方差、标准差等。

例题： 从装有5个红球、3个蓝球的袋子里随机取出3个球，求取出的3个球都是红球的概率。

解答： 从8个球中取出3个球的取法有\(C_8^3\)种，取出3个红球的取法有\(C_5^3\)种，所以取出的3个球都是红球的概率为： $\(P = \frac{C_5^3}{C_8^3} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}\)$

三、总结

通过对2019年高考数学全国一试卷难点的剖析和解题技巧的深度解析，考生可以更好地掌握高考数学的精髓。在备考过程中，考生应注重基础知识的学习和训练，提高自己的逻辑思维和计算能力，以应对高考的挑战。