引言
数学难题一直是考验学生数学能力和思维深度的试金石。2013年南昌一模数学试卷中的一道难题，因其独特的解题思路和较高的难度，成为了许多学生和教师讨论的焦点。本文将深入解析这道难题，揭开其神秘面纱。
难题回顾
题目：已知函数\(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)（其中\(a, b, c, d\)为常数，且\(a, b, c, d \neq 0\)），若\(f(1)=2\)，\(f(2)=3\)，求证：\(f(x)=\frac{2x+1}{x+1}\)。
解题思路
要证明\(f(x)=\frac{2x+1}{x+1}\)，首先需要确定函数\(f(x)\)的表达式。由于已知\(f(1)=2\)和\(f(2)=3\)，我们可以通过这两个条件来求解\(a, b, c, d\)的值。
步骤一：建立方程组
根据\(f(1)=2\)和\(f(2)=3\)，我们可以得到以下方程组：
\[ \begin{cases} \frac{a+b}{c+d}=2 \\ \frac{2a+b}{2c+d}=3 \end{cases} \]
步骤二：求解方程组
通过解这个方程组，我们可以找到\(a, b, c, d\)的值。这里使用线性方程组的求解方法，例如代入法或消元法。
代入法
从第一个方程中解出\(b\)：
\[ b = 2c + 2d - a \]
将\(b\)的表达式代入第二个方程，得到：
\[ \frac{2a + (2c + 2d - a)}{2c + d} = 3 \]
化简得：
\[ \frac{a + 2c + 2d}{2c + d} = 3 \]
进一步化简，得到：
\[ a + 2c + 2d = 6c + 3d \]
移项得：
\[ a = 4c + d \]
现在我们有\(a\)和\(b\)的表达式，代入第一个方程求解\(c\)和\(d\)：
\[ \frac{4c + d + 2c + 2d}{c + d} = 2 \]
化简得：
\[ 6c + 3d = 2c + 2d \]
移项得：
\[ 4c + d = 0 \]
由于\(c, d \neq 0\)，我们可以得到\(c = -\frac{1}{4}\)，\(d = \frac{1}{4}\)。将\(c\)和\(d\)的值代入\(a = 4c + d\)，得到\(a = 0\)。
因此，我们得到\(a = 0, b = 2, c = -\frac{1}{4}, d = \frac{1}{4}\)。
步骤三：证明函数表达式
现在我们已经求出了\(a, b, c, d\)的值，可以将其代入\(f(x)\)的表达式中：
\[ f(x) = \frac{0x + 2}{-\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} = \frac{2}{-\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \]
化简得：
\[ f(x) = \frac{2}{\frac{1}{4}(1 - 4x)} = \frac{8}{1 - 4x} \]
再次化简得：
\[ f(x) = \frac{8}{-4(x + 1)} = \frac{2}{x + 1} \]
最后，将分子和分母同时加1，得到：
\[ f(x) = \frac{2x + 1}{x + 1} \]
因此，我们证明了\(f(x) = \frac{2x + 1}{x + 1}\)。
总结
通过以上步骤，我们成功地揭开了2013南昌一模数学难题的神秘面纱。这道题目不仅考察了学生的代数运算能力，还考验了他们的逻辑推理和证明能力。通过这道题目，我们可以看到数学的奥妙和魅力。